Um processo de Gauss–Markov, que recebe este nome em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss e ao matemático russo Andrei Markov, é um processo estocástico que satisfaz os requisitos tanto dos processos de Gauss, como dos processos de Markov.[1] O processo de Gauss–Markov estacionário é também conhecido como processo de Ornstein–Uhlenbeck.
Descrição
Todo processo de Gauss–Markov
possui as três seguintes propriedades:
- Se
for uma função escalar não nula de
, então,
é também um processo de Gauss–Markov; - Se
for uma função escalar não decrescente de
, então,
é também um processo de Gauss–Markov; - Há uma função escalar não nula
e uma função escalar não decrescente
, tal que
, em que
é um processo de Wiener padrão.
A terceira propriedade significa que todo processo de Gauss–Markov pode ser sintetizado a partir do processo de Wiener padrão.[2]
Propriedades
Um processo de Gauss–Markov com variância
e constante de tempo
tem:
- Autocorrelação exponencial:
. - Uma função de densidade espectral de potência que tem a mesma forma da distribuição de Cauchy:
![{\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab32f0e0e1e3a88fc68a370093b40f1a6339855c)
Note que a distribuição de Cauchy e este espectro diferem entre si por fatores de escala.
O que foi exposto acima produz a seguinte fatoração espectral:
![{\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(-s+\beta )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72263dd15c95efb001918134ef88c411b2f931b7)
que é importante na filtração de Wiener e outras áreas.
Há também algumas exceções triviais ao que foi descrito acima.[2]
Ver também
Referências
- ↑ Pierre., Lamon, (2008). 3D-position tracking and control for all-terrain robots. Berlin: Springer. ISBN 9783540782865. OCLC 261324811
- ↑ a b Edward., Rasmussen, Carl (2006). Gaussian processes for machine learning. Cambridge, Mass.: MIT Press. ISBN 026218253X. OCLC 68194203
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Tempo discreto | |
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Tempo contínuo | |
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Ambos | |
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Campos e outros | |
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Modelos de série temporal | |
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Modelos financeiros | - Black–Derman–Toy
- Black–Karasinski
- Chen
- Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
- Garman–Kohlhagen
- Heath–Jarrow–Morton (HJM)
- Heston
- Ho–Lee
- Hull–White
- LIBOR market
- Rendleman–Bartter
- SABR volatility
- Vašíček
- Wilkie
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Modelos atuariais | - Bühlmann
- Cramér–Lundberg
- Sparre–Anderson
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Modelos de filas | |
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Propriedades | |
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Teoremas limites | |
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Desigualdades | |
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Ferramentas | |
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Disciplinas | |
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- Categoria:Processos estocásticos
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