Em matemática, a equação de Tanaka é um exemplo de equação diferencial estocástica que admite uma solução fraca, mas que não tem nenhuma solução forte. Recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka.[1]
Definição
A equação de Tanaka é uma equação diferencial estocástica unidimensional:
![{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} B_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb859cced1acfc48d8dbab0fe68dc0989ad4983c)
dirigida pelo movimento browniano canônico
com condição inicial
, em que
denota a função sinal:
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de03a72a5bcb23e30ff494f16c069d13e2c6cb26)
Destaca-se o valor não convencional de
. A função sinal não satisfaz a condição de continuidade de Lipschitz exigida para teoremas usuais que garantem a existência e a unicidade de soluções fortes. A equação de Tanaka não tem nenhuma solução forte, isto é, uma para a qual a versão
do movimento browniano é dada antecipadamente e a solução
é adaptada à filtração gerada por
e pelas condições iniciais. Entretanto, a equação de Tanaka tem uma solução fraca, uma para a qual o processo
e a versão do movimento browniano são ambos especificados como parte da solução, em vez do movimento browniano sendo dado a priori. Neste caso, simplesmente escolhe-se
para ser qualquer movimento browniano
e define-se
por:
![{\displaystyle {\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\mathrm {d} X_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f62610783689ff6e1485757ae814c86acd2a11)
isto é,
![{\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} X_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0b85197c710c43db36cc45534db80b5550e85a)
Assim,
![{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ca5b751199412fd58531a8624ff06ab8a8cb49)
e, então,
é uma solução fraca da equação de Tanaka. Além disto, esta solução é fracamente única, isto é, qualquer outra solução fraca deve ter a mesma lei.[1]
Referências
- ↑ a b 1945-, Øksendal, B. K. (Bernt Karsten), (2003). Stochastic differential equations : an introduction with applications 6th ed. Berlin: Springer. ISBN 3540047581. OCLC 52203046
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- Categoria:Processos estocásticos
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