Em cálculo estocástico, a exponencial de Doléans–Dade, exponencial de Doléans ou exponencial estocástica de um semimartingale
é definida como a solução da equação diferencial estocástica
com condição inicial
. O conceito recebe este nome em homenagem à matemática franco-americana Catherine Doléans–Dade. É às vezes denotada como
.[1]
Definição
No caso em que
é diferenciável, então,
é dado pela equação diferencial
, para a qual a solução é
. Alternativamente, se
para um movimento browniano
, então, a exponencial de Doléans–Dade é um movimento browniano geométrico. Para qualquer semimartingale contínuo
, aplicando o lema de Itō com
, tem-se que:
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}d[Y]\\&=dX-{\frac {1}{2}}d[X].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87342104f66f17374d97d4e05628f927d5e3a61b)
A exponenciação dá a solução:
![{\displaystyle Y_{t}=\exp(X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}),t\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b182f08c9a3ea1a02029c50fbc51b8570f17705)
Isto difere do que pode ser esperado por comparação com o caso em que
é diferenciável devido à existência do termo de variação quadrática
na solução.
A exponencial de Doléans–Dade é útil no caso em que
é um martingale local. Então,
também será um martingale local, enquanto a exponencial normal
não é. Isto é usado no teorema de Girsanov. Os critérios para que um martingale local contínuo
garanta que sua exponencial estocástica
seja de fato um martingale são dados pelas condições de Kazamaki, Novikov e Beneš.
É possível aplicar o lema de Itō para semimartingales não contínuos de forma semelhante para mostrar que a exponencial de Doléans–Dade de qualquer semimartingale
é:
![{\displaystyle Y_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}{\Bigr )}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\exp {\Bigl (}-\Delta X_{s}+{\frac {1}{2}}\Delta X_{s}^{2}{\Bigr )},t\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871bb482d7e76aebf99779b0b15c82279cc5b493)
em que o produto se estende sobre os (muitos) saltos (contáveis) de
até o tempo
.[2]
Referências
- ↑ Larsson, Martin; Ruf, Johannes (20 de fevereiro de 2017). «Notes on the Stochastic Exponential and Logarithm∗» (PDF). Consultado em 2 de outubro de 2017
- ↑ E., Protter, Philip (2004). Stochastic integration and differential equations 2nd ed. Berlin: Springer. ISBN 3540003134. OCLC 52943083
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