Em matemática, especificamente em processos estocásticos, a fórmula de Dynkin é um teorema que dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō em um tempo de parada. Pode ser vista como a generalização estocástica do (segundo) teorema fundamental do cálculo. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Eugene Dynkin.
Afirmação
Considere
a difusão de Itō com valor em
que resolve a equação diferencial estocástica
![{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fe2189056bf1b5b1f58ee249741de5e63cc17b)
Para um ponto
, considere que
denota a lei de
, sendo o dado inicial
, e que
denota o valor esperado em relação a
.
Considere
o gerador infinitesimal de
, definido por sua ação em funções
compactamente suportadas (duplamente diferenciáveis com segunda derivada contínua)
, conforme
![{\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7b0b23105674a671237235d5ffdaf180866dfe)
ou, equivalentemente,
![{\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934572ac5b8fc3653e665201d42d3e5d12feb803)
Considere que
é um tempo de parada com
e
é
com suporte compacto. Então, a fórmula de Dynkin afirma que:[1]
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47693741dc5193bcd1f3064b1215935a2e75017)
Na verdade, se
for o primeiro tempo de saída para um conjunto limitado
com
, então, a fórmula de Dynkin se aplica para todas as funções
, sem o pressuposto do suporte compacto.
Exemplo
A fórmula de Dynkin pode ser usada para encontrar o primeiro tempo de saída esperado
do movimento browniano
da bola fechada
![{\displaystyle K=K_{R}=\{x\in \mathbf {R} ^{n}|\,|x|\leq R\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63048b2af1c2d01d3cf457ca5fc5f18f2d5a91a)
que, quando
começa em um ponto
no interior de
, é dado por
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec6e015fb2713fe90af499c6c8525c9b378a430)
Escolha um número inteiro
. A estratégia é aplicar a fórmula de Dynkin com
,
e uma função
com
em
. O gerador do movimento browniano é
, em que
denota o operador de Laplace. Por isso, pela fórmula de Dynkin,
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}\left[f{\big (}B_{\sigma _{j}}{\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce1999dc5da865b75eebbe2b5958fc8a312d9e1)
![{\displaystyle =f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}{\frac {1}{2}}\Delta f(B_{s})\,\mathrm {d} s\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75238efd08ad750982b3ed74042a7b4bc19f9cb8)
![{\displaystyle =|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}n\,\mathrm {d} s\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cee70a05be0358cd3beefaebcd90aa1b7176247)
![{\displaystyle =|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6547df5c719935e414cc415cdfa0018d6ca9822c)
Assim, para qualquer
,
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}]\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aef52c85273a84cb14c212f5bac1374f960163)
Agora, considere
para concluir que
quase certamente e
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79fc8f288ff4e6d9f9c44795d58d5c7f6a21f5a)
como afirmado.[2]
Referências
- ↑ Dynkin, Eugene B. (1965). Markov Processes (em inglês). [S.l.]: Academic Press
- ↑ Oksendal, Bernt (17 de abril de 2013). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662025741
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