Criterio di Eisenstein

In algebra, il criterio di Eisenstein è un criterio per dimostrare l'irriducibilità di alcuni polinomi a coefficienti interi. Prende il nome dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.

Sia ${\displaystyle P(x)}$ un polinomio primitivo a coefficienti interi

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.}$

Il criterio di Eisenstein afferma che:

In altre parole, se valgono le ipotesi non esistono due polinomi a coefficienti interi ${\displaystyle H(x)}$ e ${\displaystyle G(x)}$ e di grado almeno uno tali che

${\displaystyle H(x)\cdot G(x)=P(x).}$

Per il lemma di Gauss, non esistono neppure due polinomi ${\displaystyle H(x)}$ e ${\displaystyle G(x)}$ a coefficienti razionali di grado almeno uno il cui prodotto è ${\displaystyle P(x)}$, quindi ${\displaystyle P(x)}$ è irriducibile pure tra i polinomi a coefficienti razionali.

Il criterio può essere generalizzato a qualsiasi dominio a fattorizzazione unica: basta sostituire alla nozione di numero primo quella di elemento primo.

Consideriamo ad esempio il polinomio ${\displaystyle P(x)=3x^{2}+25x+10}$; a questo si può applicare il criterio a partire dal primo p=5, che divide 10 e 25, ma non 3; inoltre ${\displaystyle 5^{2}=25}$ non divide 10. Da questo si può dedurre che P(x) è irriducibile.

L'ultima condizione è importante: infatti se consideriamo il polinomio ${\displaystyle Q(x)=x^{2}+10x+25}$, questo verifica le prime due condizioni, ma non la terza, e non è irriducibile: esiste infatti la fattorizzazione ${\displaystyle Q(x)=(x+5)^{2}=(x+5)(x+5)}$

Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi G(x) e H(x) che fattorizzano P(x) (dove P(x) verifica le ipotesi del criterio di Eisenstein), di grado rispettivamente g e h; scomponiamo quindi P(x) come

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=(b_{g}x^{g}+b_{g-1}x^{g-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0})(c_{h}x^{h}+c_{h-1}x^{h-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0})}$

Abbiamo allora

${\displaystyle a_{0}=b_{0}c_{0}}$ e quindi ${\displaystyle p\mid b_{0}c_{0}}$ e ${\displaystyle p^{2}\nmid b_{0}c_{0}}$

da cui a meno di inversioni ${\displaystyle p\mid b_{0}}$ e ${\displaystyle p\nmid c_{0}}$, continuiamo

${\displaystyle p\mid b_{0}c_{1}+b_{1}c_{0}}$ per cui ${\displaystyle p\mid b_{1}}$

${\displaystyle p\mid b_{0}c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}}$ per cui ${\displaystyle p\mid b_{2}}$

...

dalle espressioni precedenti si deduce ${\displaystyle p|b_{k}}$, quindi ${\displaystyle p|G(x)}$, ma questo comporta che ${\displaystyle p|P(x)}$ e dunque l'assurdo ${\displaystyle p|a_{n}}$.

Un'altra dimostrazione può essere data usando il campo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ delle classi di resto modulo il primo ${\displaystyle p}$.

Consideriamo il polinomio ${\displaystyle \pi _{p}(f(x))}$, ottenuto dal polinomio ${\displaystyle f(x)}$ proiettandone i coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$; poiché per ipotesi ${\displaystyle p}$ divide tutti i coefficienti escluso il coefficiente direttore, ${\displaystyle \pi _{p}(f(x))=c\cdot x^{n}}$ con ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} _{p}}$, ${\displaystyle c\neq 0}$. Poiché in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$ vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di ${\displaystyle f(x)}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$ sarà in monomi. Supponiamo ora che ${\displaystyle f(x)}$ sia riducibile in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$, ovvero che esistano ${\displaystyle g(x),h(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ tali che ${\displaystyle f(x)=g(x)\cdot h(x)}$ con ${\displaystyle 1\leq deg(g),\ deg(h)\leq n-1}$. Si avrebbe che i fattori ${\displaystyle g(x)}$ e ${\displaystyle h(x)}$, proiettati modulo ${\displaystyle p}$, sarebbero monomi, ovvero si avrebbe ${\displaystyle \pi _{p}(g(x))=d\cdot x^{r}}$ e ${\displaystyle \pi _{p}(h(x))=e\cdot x^{n-r}}$, con ${\displaystyle d,e\in \mathbb {Z} _{p}}$, ${\displaystyle d,e\neq 0}$.

È facile verificare che ${\displaystyle \pi _{p}(g(0))=\pi _{p}(g(x))(0)=0}$ e che ${\displaystyle \pi _{p}(h(x))(0)=\pi _{p}(h(0))=0,}$ dunque ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle g(0)}$ e ${\displaystyle h(0)}$. Ma allora ${\displaystyle p^{2}}$ divide ${\displaystyle g(0)h(0)=f(0)=a_{0},}$ contraddicendo l'ipotesi ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}$. Quindi ${\displaystyle f(x)}$ non è fattorizzabile in ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$, e dunque nemmeno in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ per il lemma di Gauss.

• (EN) Eric W. Weisstein, Eisenstein's Irreducibility Criterion, su MathWorld, Wolfram Research.

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