Classe laterale

La classe laterale (in inglese coset) è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Sia ${\displaystyle (G;\cdot )}$ un gruppo e sia ${\displaystyle H}$ un suo sottogruppo e ${\displaystyle a\in G}$. Nel seguito utilizziamo per l'operazione di gruppo la notazione ${\displaystyle a\cdot b=ab}$.^{[postille 1]} La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ rappresentato da ${\displaystyle a}$ è l'insieme:

${\displaystyle Ha=\{b\in G\,|\,b=ha,h\in H\}=\{H\ni h=ba^{-1},b\in G\},}$

cioè fissato un elemento ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle G}$ detto rappresentante della classe, si fa il prodotto ${\displaystyle b=ha}$ dove ${\displaystyle h}$ è un qualsiasi elemento del sottogruppo ${\displaystyle H.}$ Oppure si prende l'elemento opposto di ${\displaystyle a}$ e si fa il prodotto ${\displaystyle ba^{-1}}$ con qualsiasi elemento ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle G}$ verificando di ottenere un elemento di ${\displaystyle H.}$

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ rappresentato da ${\displaystyle a}$ come l'insieme:

${\displaystyle aH=\{b\in G\,|\,b=ah,h\in H\}=\{H\ni h=a^{-1}b,b\in G\}.}$

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza ${\displaystyle \sim _{H\cdot }}$ definita in ${\displaystyle G}$ ponendo per ${\displaystyle a,b\in G}$:

${\displaystyle a\sim _{H\cdot }b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.}$

La classe di equivalenza contenente l'elemento ${\displaystyle g}$ è proprio ${\displaystyle Hg}$: infatti ${\displaystyle g=eg}$, dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento neutro di ${\displaystyle G}$: quindi ${\displaystyle e\in H}$ perché ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

${\displaystyle a\sim _{\cdot H}b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.}$

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato ${\displaystyle G}$ si definisce come:

${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}:=\{xH\,|\,x\in G\},}$

${\displaystyle G/\sim _{H\cdot }:=\{Hx\,|\,x\in G\},}$

dove l'elemento ${\displaystyle x}$ è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano ${\displaystyle G}$ si ha sempre

${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot },\qquad \forall H\leq G,}$

cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.

Osserviamo che, a causa delle due equivalenze ${\displaystyle \sim _{H\cdot }}$ e ${\displaystyle \sim _{\cdot H}}$, sia i laterali sinistri che i destri del gruppo ${\displaystyle G}$ sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\cdot H}\colon H&\to xH\\h&\mapsto xh,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{H\cdot }\colon H&\to Hx\\h&\mapsto hx,\end{aligned}}}$

sono biunivoche. E si possono esprimere con l'unica biiezione naturale

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{H}\colon xH&\to Hx\\xh&\mapsto hx^{-1}.\end{aligned}}}$

Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità. Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo ${\displaystyle H}$ nel gruppo ${\displaystyle G}$, e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato

${\displaystyle i(H)=(G:H)=[G:H].}$

In particolare, se ${\displaystyle G}$ è finito e ha ${\displaystyle n}$ elementi, ed ${\displaystyle H}$ ha ${\displaystyle m}$ elementi, si ha ${\displaystyle n=m\cdot i(H)}$: quindi la cardinalità di ogni sottogruppo ${\displaystyle H}$ di un gruppo finito G e il suo indice ${\displaystyle i(H)}$ sono divisori della cardinalità di G (vedi teorema di Lagrange).

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo ${\displaystyle N}$ di ${\displaystyle G}$ che definisce un'unica partizione, cioè tale che ${\displaystyle gN=Ng,}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$, si dice sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$^{[postille 2]}; in genere tale partizione è formata da ${\displaystyle i(H)}$ classi cioè dal valore dell'indice di ${\displaystyle H.}$ Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo ${\displaystyle H}$ diventa ${\displaystyle [G:H]=2,}$ allora ${\displaystyle H=N}$ cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre^[1]. Cioè:

${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=G/N}$

e in tale gruppo abbiamo:

• ${\displaystyle xH\circ yH=xyH}$ che equivale a ${\displaystyle Hx\circ Hy=Hxy}$ come legge di composizione interna associativa;

${\displaystyle (xH\ yH)\ zH=xH\ (yH\ zH)\quad \forall xH,yH,zH\ \in G/N}$;

• ${\displaystyle eH=He=eN=Ne}$ come elemento neutro;
• ${\displaystyle {xH}^{-1}=x^{-1}H}$ come elemento inverso.

a cui viene associata una tabella di Cayley ${\displaystyle i(H)\cdot i(H)}$.

Casi particolari

• Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia ${\displaystyle H=\{e\}}$. In tal caso si ottiene

  ${\displaystyle a_{i}H=\{a_{i}\}=Ha_{i},\quad i=1,2,\ldots ,|G|,}$

  quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui ${\displaystyle i(H)=|G|}$ e il teorema di Lagrange diventa ${\displaystyle |G|=|H|\cdot i(H)=1\cdot |G|}$. L'altro caso è ${\displaystyle H=G}$ e si ottiene

  ${\displaystyle a_{i}H=Ha_{i}=G,\quad i=1,2,\ldots ,|G|,}$

  quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui ${\displaystyle i(H)=1}$ e il teorema di Lagrange diventa ${\displaystyle |G|=|H|\cdot i(H)=|G|\cdot 1}$.

• Se come elemento x rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di ${\displaystyle G}$ si ha

  ${\displaystyle eH=\{y\in G|e^{-1}y=ey=y\in H\}=H}$

  ${\displaystyle He=\{y\in G|ye^{-1}=ye=y\in H\}=H}$

  ${\displaystyle eH=H=He}$

  con ${\displaystyle e}$ elemento neutro di ${\displaystyle G}$. Quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con ${\displaystyle H.}$

Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{3}}$ ha legge di composizione non commutativa

${\displaystyle \alpha \circ \beta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (1)&\alpha (2)&\alpha (3)\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\\beta (1)&\beta (2)&\beta (3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (\beta (1))&\alpha (\beta (2))&\alpha (\beta (3))\end{pmatrix}}\neq \beta \circ \alpha }$

elemento neutro ed opposto

${\displaystyle \mathrm {id} ={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}}$ cioè tutti gli elementi sono punti fissi.

${\displaystyle \alpha ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha ^{-1}(1)&\alpha ^{-1}(2)&\alpha ^{-1}(3)\end{pmatrix}}}$ occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.

Consideriamo i sottogruppi di ${\displaystyle S_{3}}$ il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo ${\displaystyle |S_{3}|=1\cdot 2\cdot 3=6}$ per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1,2,3,6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:

• due sottogruppi normali banali ${\displaystyle \{\mathrm {id} \}=\{C_{3}^{3}\}=\{(1)(2)(3)\}}$ ed ${\displaystyle S_{3}=C_{3}\times C_{2}=<(1\ 3\ 2),(2\ 3)>}$ di ordini 1 e 6,
• il sottogruppo normale alternante ${\displaystyle A_{3}=\{\mathrm {id} ,(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}=C_{3}=\{C_{3}^{3},C_{3},C_{3}^{2}\}=<(1\ 3\ 2)>}$ che è un gruppo ciclico di ordine 3
• tre sottogruppi delle riflessioni ${\textstyle T_{2}^{'}=\{\mathrm {id} ,(2\ 3)(1)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{'}\}=C_{2}^{'}=<(2\ 3)>}$, ${\displaystyle T_{2}^{''}=\{\mathrm {id} ,(1\ 3)(2)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{''})\}=C_{2}^{''}=<(1\ 3)>}$ e ${\displaystyle T_{2}^{'''}=\{\mathrm {id} ,(1\ 2)(3)\}=\{C_{3}^{3},\sigma ^{'''}\}=C_{2}^{'''}=<(1\ 2)>}$ che sono gruppi ciclici di ordine 2.

quindi sono sei sottogruppi di cui tre sono normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali.

Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:

${\displaystyle H=\{\mathrm {id} \},\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\},}$

quindi 6 classi laterali destro e sinistro coincidenti e l'indice diventa ${\displaystyle [S_{3}:\{id\}]=6.}$

${\displaystyle H=S_{6},\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=S_{3},}$

quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa ${\textstyle [S_{3}:S_{3}]=1.}$

${\displaystyle H=T_{2}^{'}.}$

Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento ${\displaystyle x_{i}\in G,}$ per ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,6}$, in questo caso ${\displaystyle x_{i}=C_{3}^{2}}$ e quindi ${\displaystyle x_{i}^{-1}=C_{3}}$ e poi lo componiamo con qualsiasi elemento ${\displaystyle x_{k}\in G,}$ per ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,6}$. Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli ${\displaystyle x_{k}\in x_{i}H}$. Stessa procedura per trovare gli ${\displaystyle x_{k}\in Hx_{i}}$.

abbiamo ottenuto ${\displaystyle x_{i}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}}$ per il coset sinistro e ${\displaystyle Hx_{i}=HC_{3}^{2}=\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\neq C_{3}^{2}H}$ per quello destro.

Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati:

${\displaystyle \sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=T_{2}^{'},}$

${\displaystyle \sigma ^{''}H=C_{3}H=\{C_{3},\sigma ^{''}\}\neq \{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}=H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2},}$

${\displaystyle \sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\neq \{C_{3},\sigma ^{'''}\}=H\sigma ^{'''}=HC_{3},}$

e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle S_{3}}$ ha valore ${\displaystyle [S_{3}:T_{2}^{'}]=3.}$

Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:

Classi laterali dei sottogruppi di ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle |H|}$	${\displaystyle H}$	${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}}$	${\displaystyle G/\sim _{H\cdot }}$	${\displaystyle [S_{3}:H]}$
1	${\displaystyle \{\mathrm {id} \}=N}$[postille 3]	${\displaystyle C_{3}^{3}\ H=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=\{\sigma ^{'''}\}}$	${\displaystyle H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\}}$	6
2	${\displaystyle T_{2}^{'}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'}\}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'}\\\sigma ^{''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=&T_{2}^{'}\\H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\H\sigma ^{'''}=HC_{3}=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}}$	3
2	${\displaystyle T_{2}^{''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{''}\}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\sigma ^{''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{''}\\\sigma ^{'}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{''}=&T_{2}^{''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{'''}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}}$	3
2	${\displaystyle T_{2}^{'''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'''}\}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\sigma ^{'''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'''}\\\sigma ^{''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{'''}=&T_{2}^{'''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{''}=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}}$	3
3	${\displaystyle A_{3}=\{C_{3}^{3},C_{3},C_{3}^{2}\}=N}$[postille 3]	${\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}^{3}H=C_{3}^{2}H=C_{3}H=&A_{3}\\\sigma ^{'}H=\sigma ^{''}H=\sigma ^{'''}H=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}HC_{3}=HC_{3}^{2}=HC_{3}^{3}=&A_{3}\\H\sigma ^{'}=H\sigma ^{''}=H\sigma ^{'''}=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}}$	2
6	${\displaystyle S_{3}=N}$[postille 3]	${\displaystyle C_{3}^{3}\ H=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=S_{3}}$	${\displaystyle H\ C_{3}^{3}=\cdots =H\ \sigma ^{'''}=S_{3}}$	1

Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia ${\displaystyle G}$ il gruppo additivo degli interi

${\displaystyle G=\mathbb {Z} =(\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \},+),}$

cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo

${\displaystyle \mathrm {id} =0}$ come elemento neutro;

${\displaystyle -a}$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione;

${\displaystyle a+b=b+a,}$ per ogni ${\displaystyle a,b\in G}$ cioè un gruppo abeliano.

Consideriamo come sottogruppo ${\displaystyle H\leq \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H=(3\mathbb {Z} ,+)=(\{\ldots ,-6,-3,0,3,6,\ldots \},+).}$

Allora le classi laterali destre o cosets di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ sono i tre insiemi

${\displaystyle G/\sim _{H\cdot }=\{H+0,\ H+1,\ H+2\},}$

dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra

${\displaystyle H+x=\{\ldots ,-6+x,\ -3+x,\ x,\ 3+x,\ 6+x,\ldots \},\qquad x=0,1,2.}$

con ${\displaystyle x}$ il rappresentante della classe.

Questi tre insiemi suddividono (o creano una partizione) l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ quindi non ci sono altri laterali destri di ${\displaystyle H.}$ Essendo l'addizione commutativa si ha pure:

${\displaystyle H+x=x+H,\qquad x=0,1,2.}$

Cioè, ogni laterale sinistro di ${\displaystyle H}$ è anche un laterale destro, e l'indice di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ è semplicemente

${\displaystyle |G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=3.}$

Quindi ${\displaystyle H\trianglelefteq G,}$ cioè un sottogruppo normale con indice 3.^[2] (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.^[3])

Generalizzando, sia ${\displaystyle G}$ sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=(n\mathbb {Z} ,+)=(\{\ldots ,-2n,-n,0,n,2n,\ldots \},+),}$

dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo. Allora i laterali destro e sinistro di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ sono gli ${\displaystyle n}$ insiemi (cioè l'indice di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ è ${\displaystyle [G:H]=n}$)

${\displaystyle G/\sim _{H\cdot }=\{n\mathbb {Z} +0,n\mathbb {Z} +1,\ldots ,n\mathbb {Z} +(n-1)\},}$

${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=\{0+n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\ldots ,(n-1)+n\mathbb {Z} \},}$

che sono coincidenti essendo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ un gruppo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante ${\displaystyle x}$ è un insieme del tipo:

${\displaystyle n\mathbb {Z} +x=\{\ldots ,-2n+x,-n+x,x,n+x,2n+x,\ldots \}.}$

Non ci sono più di ${\displaystyle n}$ cosets destro e sinistro, infatti ${\displaystyle n\mathbb {Z} +n=n(\mathbb {Z} +1)=n\mathbb {Z} .}$

Le classe laterale del sottogruppo normale ${\displaystyle H=N=n\mathbb {Z} }$ forma un sottogruppo

${\displaystyle (n\mathbb {Z} +x,+)=(x+n\mathbb {Z} ,+)}$

e viene detta classe di congruenza di ${\displaystyle x}$ modulo ${\displaystyle n.}$^[4] Il sottogruppo ${\displaystyle H=n\mathbb {Z} }$ è normale nel gruppo ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ,}$ e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente

${\displaystyle G/H=G/N=\mathbb {Z} /(n\mathbb {Z} )=\{n\mathbb {Z} +x=x+n\mathbb {Z} |x\in \mathbb {Z} \},}$

detto gruppo additivo degli interi modulo ${\displaystyle n}$ a cui viene associata una tabella Cayley ${\displaystyle n\times n}$

Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria degli spazi vettoriali dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$. Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo

${\displaystyle \mathrm {id} =0_{V}}$ il vettore nullo come elemento neutro;

${\displaystyle -v}$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione;

${\displaystyle v_{1}+v_{2}=v_{2}+v_{1},\quad \forall v_{1},\ v_{2}\in G,}$ cioè ${\displaystyle V}$ è un gruppo abeliano.

I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro ${\displaystyle 0_{V},}$ sono rette e piani passanti per l'origine ${\displaystyle O=(0,0,0)=0_{V}}$ del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio ${\displaystyle W=H}$ e un vettore ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle V}$, consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:

${\displaystyle x+W=\{\mathbf {v} \in V\mid \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\},}$

dove ${\displaystyle x}$ è il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di ${\displaystyle V}$, cioè sono digiunti:

${\displaystyle (x+W)\cap (y+W)=\varnothing ,\quad \forall x,y\in V,x\neq y.}$

Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di ${\displaystyle V}$ paralleli a ${\displaystyle W}$, e i laterali destri ${\displaystyle W+x}$ e sinistri ${\displaystyle x+W}$ coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè ${\displaystyle x+W=W+x}$. Quindi ${\displaystyle W}$ è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:

${\displaystyle |G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=\infty .}$

Allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini

${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=V/W=\{x+W|x\in V\}.}$

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ questi sottospazi affini sono tutte le rette o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo ${\displaystyle W}$, che sappiamo rappresentare una retta o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Se ${\displaystyle r}$ denota una retta passante per l'origine ${\displaystyle O,}$ allora ${\displaystyle r}$ è un sottogruppo del gruppo abeliano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Se ${\displaystyle P}$ è un punto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, allora la classe laterale

${\displaystyle P+r=r+P}$

indica il sottospazio rappresentato da una retta ${\displaystyle r'}$ parallela a ${\displaystyle r}$ e passante per il punto ${\displaystyle P.}$^[5]

Con ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ oppure con ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(K)}$ si indica il gruppo delle matrici sopra un campo ${\displaystyle K}$ che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo generale lineare ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )}$. Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici

${\displaystyle g_{1}g_{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&b^{'}\\c^{'}&d^{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aa^{'}+bc^{'}&ab^{'}+bd^{'}\\ca^{'}+dc^{'}&cb^{'}+dd^{'}\end{pmatrix}}\neq g_{2}g_{1},\quad \forall g_{1}\ g_{2}\in G}$

quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso

${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad A^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

Prendiamo come ${\displaystyle G}$ il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti ${\displaystyle b=0,\ d=1}$),^[6]

${\displaystyle G=\left\{g\in G|{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$

e consideriamo come sottogruppo ${\displaystyle H}$ di ${\displaystyle G}$ ad un parametro (abbiamo tre parametri noti ${\displaystyle b=0,\ d=1}$ come prima e ${\displaystyle a=1}$):

${\displaystyle H=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}.}$

Fissiamo una matrice ${\displaystyle 2\times 2}$ da ${\displaystyle G}$ e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H essendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S₃, cioè:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}}$

mentre la generica classe laterale destra

${\displaystyle H{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+ac^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}={\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H.}$

Cioè le classi laterali sinistre sono costituite da tutte le matrici di ${\displaystyle G}$ che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il sottogruppo ${\displaystyle H}$ è normale in ${\displaystyle G,}$ mentre se consideriamo il sottogruppo

${\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$

essendo

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\ca^{'}&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon a^{''},c^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$

${\displaystyle K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$

ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili (${\displaystyle a^{''},c^{''}}$), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile (${\displaystyle a^{''}}$) e quindi

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K\neq K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}},}$

cioè ${\displaystyle K}$ è non normale in ${\displaystyle G.}$

Un sottogruppo ${\displaystyle H}$ di un gruppo ${\displaystyle G}$ si utilizza per definire l'azione di ${\displaystyle H}$ su ${\displaystyle G}$ in due modi naturali. L'azione destra,

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times H&\to G\\(g,h)&\mapsto gh\end{aligned}}}$

e l'azione sinistra,

${\displaystyle {\begin{aligned}H\times G&\to G\\(h,g)&\mapsto hg.\end{aligned}}}$

L'orbita dell'elemento ${\displaystyle g\in G}$ sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistro ${\displaystyle gH\subseteq G}$, mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il laterale destro ${\displaystyle Hg\subseteq G}$^[7].

Postille

Fonti

• (IT) Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7, OCLC 956260268. URL consultato il 13 ottobre 2022.
• (IT) Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581. URL consultato il 13 ottobre 2022.
• (EN) Serge Lang, Algebra, Revised Third Edition, 2002, ISBN 0-387-95385-X, OCLC 48176673. URL consultato il 13 ottobre 2022.
• (EN) Humphreys, J.F., 7. Normal subgroups and quotient groups, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
• (EN) John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 5ª ed., Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-53467-2.
• (EN) K. D. Joshi, §5.2 Cosets of Subgroups, in Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, 1989, ISBN 81-224-0120-1.
• (EN) Joseph J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra with Applications, 3ª ed., Prentice-Hall, 2006, ISBN 978-0-13-186267-8.
• (EN) David M. Burton, Abstract Algebra, Wm. C. Brown Publishers, 1988, ISBN 0-697-06761-0.
• (EN) Nathan Jacobson, Basic Algebra I, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1.

• Classe laterale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Coset, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Coset in a group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale