Kvadratne matrice

U matematici, kvadratna matrica je matrica u kojoj je broj redova i kolona isti. Taj broj se zove red matrice. Bilo koje dvije kvadratne matrice istog reda mogu se sabirati i množiti.^[1]

1. Kvadratnu matricu uvijek možemo razviti po elementima bilo kojeg reda i bilo koje kolone. Uvijek dobijamo istu vrijednost determinante.
2. Kvadratna matrica ne mijenja vrijednost, ako zamijenimo redove ili kolone kvadratne matrice u redoslijedu.
3. Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi jednog reda ili jedne kolone nule, ima vrijednost jednaku nuli.
4. Ako u kvadratnoj matrici dvije kolone ili dva reda međusobno zamijene položaj, kvadratna matrica mijenja predznak.
5. Kvadratna matrica ne mijenja svoje vrijednosti ako elementima jednog reda (jedne kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) eventualno pomnožene bilo kojom konstantom.

Elementi ${\displaystyle a_{ii}(i=1,...,n)}$ čine glavnu dijagonale kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj ravnoj liniji koja se proteže od gornjeg lijevog ugla prema donjem desnom uglu matrice.

Primjer

Glavnu dijagonalu matrice ${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5&2\\1&11&7&6\\3&7&4&1\\6&0&7&10\end{bmatrix}}}$

čine elementi ${\displaystyle a_{11}=9,A_{22}=11,A_{33}=4,A_{44}=10}$.

Dijagonala koja prolazi od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog naziva se strana.

Zbir elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo ${\displaystyle {\rm {tr\,}}A}$. Tj.

${\displaystyle {\rm {tr\,}}\,A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}}$.

Kvadratne matrice imaju redova koliko i kolona, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku. U tom slučaju proizvod nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer

Neka su dane matrice

${\displaystyle A,B\in M_{2}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}a&b\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle BA={\begin{bmatrix}a&0\\c&0\end{bmatrix}}}$ tj.

${\displaystyle AB\neq BA}$

• Ako su svi elementi sem elemenata glavne dijagonale jednaki nuli matrica ${\displaystyle A}$ je diagonalna.
• Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale jednaki nuli, matrica ${\displaystyle A}$ zove se donje (gornje) trouglasta matrica.

Naziv	primjer za ${\displaystyle n=3}$
Dijagonalna	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Donjetrouglasta matrica	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
gornje trouglasta matrica	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

• Ako je ${\displaystyle A=[a\,\delta _{ij}]}$,tj. ako je matrica dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki onda je skalarna
• Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat ne vrijedi.
• Nulmatrica ${\displaystyle O}$ i jedinična matrica ${\displaystyle I}$ su skalarne matrice. Svaka skalarna matrica ima oblik ${\displaystyle \lambda \,I}$, gdje je ${\displaystyle \lambda }$ realan broj.
• ${\displaystyle A\,I=I\,A}$ za svaku kvadratnu matricu ${\displaystyle A}$ bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom ${\displaystyle A\in M_{n}}$
• simetrična matrica, ako je ${\displaystyle A^{T}=A}$
• antisimetrična matrica, ako je ${\displaystyle A^{T}=-A}$
• ortogonalna matrica, ako je ${\displaystyle A^{T}\,A=I}$

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbir simetrične i antisimetrične matrice

${\displaystyle \displaystyle A={\frac {1}{2}}\,(A+A^{T})+{\frac {1}{2}}\,(A-A^{T})}$

Da je ${\displaystyle A+A^{T}}$ simetrična, a ${\displaystyle A-A^{T}}$ antisimetrična matrica, što se vidi upotrebom gornjih osobina.

Jedinična matrica ${\displaystyle I_{n}}$ je ${\displaystyle n\times n}$ matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a ostali elementi su jednaki ${\displaystyle 0}$.^[2]

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Množenje jediničnom matricom

${\displaystyle AI_{n}=I_{n}A=A}$

Kvadratna matrica ${\displaystyle A}$, koja je identična sa svojon transponiranom matricom , tj. ${\displaystyle A=A^{T}}$, je simetrična. Ako je ${\displaystyle A}$ jednaka negativnoj transponiranoj matrici tj ${\displaystyle A=-A^{T}}$ onda je asimetrična.

Kvadratna matrica ${\displaystyle A}$ je inverzna matrica matrice ${\displaystyle B}$ ako vrijedi.u B, tako da${\displaystyle AB=BA=I}$ ^[3]

Ako postoji takva matrica B ona je jedinstvena i naziva se inverzna matrica matrice ${\displaystyle A}$. Označava se sa ${\displaystyle A^{-1}}$.

Kvadratne matrice na Wikimedijinoj ostavi

• Kvadratne matrice\ 26.10.2001.
• DETERMINANTE I MATRICE\ 20.01.1996.

1. ↑ Square Matrix
2. ↑ Jedinična matrica I kvadratna je matrica odgovarajućega reda
3. ↑ „inverzne matrice”. Arhivirano iz originala na datum 2018-02-01. Pristupljeno 2016-05-15.