Arkus kotangens

Arkus kotangens
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	(-∞,∞)
Kodomen	(-π/2,π/2)
Specifične vrednosti
Vrednost u +∞	0
Vrednost u -∞	0
Vrednost u 0+	π/2
Vrednost u 0-	-π/2
Specifične osobine
Asimptote	y = 0

Arkus kotangens je funkcija inverzna funkciji kotangensa na intervalu njenog domena [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla kada je poznata vrednost njegovog kotangensa. Može se definisati sledećom funkcijom:

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x=\operatorname {ctg} ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)}$

Pri čemu treba važiti da je x različito od nule.

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus kotangens:

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}$ (pravilo komplementnih uglova)

${\displaystyle \operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \;x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\arctan x,\ }$ ${\displaystyle \ x>0}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\pi +\arctan x,\ }$ ${\displaystyle \ x<0}$

Izvod:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} \;x{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}}$

Predstavljanje u formi integrala:

${\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}$

• Funkcija arcctg na wolfram.com