Translação (geometria)

Na geometria euclidiana, uma translação é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço, na mesma distância em uma determinada direção.

Na geometria euclidiana, uma transformação é uma correspondência de um para um entre dois conjuntos de pontos ou uma aplicação de um plano para outro.^[1] Uma translação pode ser descrita como um movimento rígido: os outros movimentos rígidos são rotações, reflexos e reflexão com deslizamento.

Uma translação também pode ser interpretada como a adição de um vetor constante a cada ponto, ou como o deslocamento da origem do sistema de coordenadas.

Um operador de translação é o operador ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ tal que ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$

E se ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é um vetor fixo, então a translação ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ vai funcionar como ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} .}$

E se ${\displaystyle T}$ é uma translação, então a imagem do subconjunto ${\displaystyle A}$ sob a função ${\displaystyle T}$ é a translação de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle T.}$ A translação de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ é frequentemente escrita ${\displaystyle A+\mathbf {v} .}$

Em um espaço euclidiano, qualquer translação é uma isometria. O conjunto de todas as translações forma o grupo de translação ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ que é isomórfico ao próprio espaço, e um subgrupo normal do grupo euclidiano ${\displaystyle E(n).}$ O grupo quociente de ${\displaystyle E(n)}$ por ${\displaystyle \mathbb {T} }$ é isomorfo ao grupo ortogonal ${\displaystyle O(n):}$

$${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$$

Representação matricial

Uma translação é uma transformação afim sem pontos fixos. As multiplicações de matrizes sempre têm a origem como um ponto fixo. No entanto, há uma solução alternativa comum usando coordenadas homogêneas para representar uma translação de um espaço vetorial por meio de uma multiplicação matricial: Escreva o vetor tridimensional ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ usando 4 coordenadas homogêneas como ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1).}$ ^[2]

Para transladar um objeto por um vetor ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ cada vetor homogêneo ${\displaystyle \mathbf {p} }$ (escrito em coordenadas homogêneas) pode ser multiplicado por esta matriz de translação:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Conforme mostrado abaixo, a multiplicação dará o resultado esperado:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$$

O inverso de uma matriz de translação pode ser obtido invertendo o sentido do vetor:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.}$$

Da mesma forma, o produto das matrizes de translação é dado pela adição dos vetores:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.}$$

Como a adição de vetores é comutativa, a multiplicação de matrizes de translação também é comutativa (ao contrário da multiplicação de matrizes arbitrárias).

Translações na física

Na física, a translação (movimento translacional) é o movimento que altera a posição de um objeto, se opondo à rotação. Por exemplo, de acordo com Whittaker: ^[3][4]

Se um corpo se move de uma posição para outra, e as retas que juntam os pontos iniciais e finais de cada ponto do corpo são um conjunto de retas paralelas de comprimento ℓ, de modo que a orientação do corpo no espaço não é alterada, o deslocamento é chamado de translação paralela na direção das retas, de uma distancia ℓ

— E. T. Whittaker

 A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1 (em inglês)

Uma translação é a operação que altera as posições de todos os pontos ${\displaystyle (x,y,z)}$ de um objeto de acordo com a fórmula:

$${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$$

em que ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ é o mesmo vetor para cada ponto do objeto. O vetor de translação ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ comum a todos os pontos do objeto descreve um determinado tipo de deslocamento do objeto, geralmente chamado de deslocamento linear para distingui-lo dos deslocamentos que envolvem rotação, denominados deslocamentos angulares.

Ao considerar o espaço-tempo, uma mudança de coordenada no tempo é considerada uma translação. Por exemplo, o grupo de Galileu e o grupo de Poincaré incluem translações em relação ao tempo.

Ver também

Referências

Ligações externas