Lema de Borel-Cantelli

Em teoria das probabilidades, o lema de Borel–Cantelli é um teorema sobre sequências de eventos. Em geral, é um resultado na teoria da medida. É nomeado em referência a Émile Borel e Francesco Paolo Cantelli.

Estabelecimento do lema para espaços de probabilidade

Fazendo-se (En) ser uma sequência de eventos em algum espaço de probabilidade.

O lema de Borel–Cantelli estabelece:

Se a soma das probabilidade de En é finita
∑ n = 1 ∞ Pr ( E n ) < ∞ , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,}
então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 0, que é,
Pr ( lim sup n → ∞ E n ) = 0. {\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.\,}

Aqui, "lim sup" denota limite superior da sequência de eventos, e cada evento é um conjunto de resultados. Isto é, lim sup En é o conjunto de resultados que ocorrem infinitamente muitas vezes dentro da sequência de eventos infinita (En). Explicitamente,

lim sup n → ∞ E n = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ E k . {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.}

O teorema entretanto afirma que se a soma das probabilidades dos eventos En é finita, então o conjunto de todos os resultados que são "repetidos" infinitamente (muitas vezes) devem ocorrer com probabilidade zero. Note-se que nenhuma suposição de independência é requerida.

Exemplo

Por exemplo, supondo que (Xn) seja uma sequência de variáveis aleatórias com Pr(Xn = 0) = 1/n2 para cada n. A probabilidade que Xn = 0 ocorre por infinitamente muitos n é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [Xn = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma ∑Pr(Xn = 0) é uma série convergente (de fato, é uma função zeta de Riemann que tende a π2/6), e então o lema de Borel–Cantelli Lemma estabelece que o conjunto de resultados que são comuns a tais infinitamente muitos eventos ocorrem com probabilidade zero. Por isso, a probabilidade de Xn = 0 ocorrendo para infinitamente muitos n é 0. Quase certamente (i.e., com probabilidade 1), Xn é não nula para todos mas finitamente muitos n.

Espaços de medida gerais

Para espaços de medida gerais, o lema de Borel–Cantelli toma a seguinte forma:

Deixa μ ser uma medida sobre um conjunto X, com σ-álgebra F, e fazendo (An) ser uma sequência em F. Se
∑ n = 1 ∞ μ ( A n ) < ∞ , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,}
então
μ ( lim sup n → ∞ A n ) = 0. {\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.\,}

Resultado de conversão

Um resultado relacionado, algumas vezes chamado o segundo lema de Borel–Cantelli, é um conversão parcial do primeiro lema de Borel–Cantelli. Ele diz:

Se os eventos En são independente e a soma de probabilidades de En diverge do infinito, então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 1.

A suposição de independência pode ser enfraquecido a independência paritária, mas neste caso a demonstração é mais difícil.

O teorema do macaco infinito é um caso especial deste lema.

O lema pode ser aplicado para dar cobertura ao teorema em Rn. Especificamente (Stein 1993, Lemma X.2.1[1]), se Ej é uma coleção de subconjuntos mensurávei de Lebesgue de um conjunto compacto em Rn tais que

∑ j μ ( E j ) = ∞ , {\displaystyle \sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,}

então existe uma sequência Fj de transformações

F j = E j + x j {\displaystyle F_{j}=E_{j}+x_{j}}

tais que

lim sup F j = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ F k = R n {\displaystyle \lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}}

à parte de um conjunto de medida zero.

Contrapartida[2]

Outro resultado relacionado é o assim chamado contrapartida do lema de Borel–Cantelli. É uma contrapartida do Lema no sentido que fornece uma condição necessária e suficiente para o limite superior ser 1 por substituir uma suposição de independência pela suposição completamente diferente que ( A n ) {\displaystyle (A_{n})} é monótona crescendo para índices suficientemente grandes. Este Lema afirma:

Fazendo-se ( A n ) {\displaystyle (A_{n})} ser tal que A k ⊆ A k + 1 {\displaystyle A_{k}\subseteq A_{k+1}} , e fazendo A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} denotar o complemento de A {\displaystyle A} . Então a probabilidade de infinitamente muitos A k {\displaystyle A_{k}} ocorre (que é, ao menos um A k {\displaystyle A_{k}} ocorre) é um se e somente se existe uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} tal que

∑ k Pr ( A t k + 1 | A ¯ t k ) = ∞ . {\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}|{\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .}

Este simples resultado pode ser útil em problemas tais como no caso daqueles que envolvem precisar probabilidades para processos estocásticos com a escolha da sequência ( t k ) {\displaystyle (t_{k})} normalmente sendo a essencial.

Referências

  1. ↑ Stein, Elias (1993), Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press .
  2. ↑ Bruss, F. Thomas (dezembro de 1980). «A counterpart of the Borel-Cantelli lemma». Journal of Applied Probability (em inglês). 17 (4): 1094–1101. ISSN 0021-9002. doi:10.2307/3213220 

Ligações externas

  • «Planet Math Proof». Referências para uma demonstração simples para o lema de Borel Cantelli Lemma 
  • Borel-Cantelli Lemma - Wolfram MathWorld

Ver também

  • Portal da matemática