Coclasse

Em teoria dos grupos, se ${\displaystyle H}$ é um subgrupo de um grupo ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle x\in G}$, o subconjunto de ${\displaystyle G}$, definido por ${\displaystyle Hx=\{hx:h\in H\}}$ é chamado de uma coclasse (à direita) de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle G}$, ou de classe lateral (à direita) de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle G}$. Analogamente, chamamos de coclasse (à esquerda) de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle G}$, ou de classe lateral (à esquerda) de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle G}$, o subconjunto de ${\displaystyle G}$, definido por ${\displaystyle xH=\{xh:h\in H\}}$.

As terminologias vem do fato de as coclasses serem classes de equivalência das seguintes relações de equivalência: ${\displaystyle y\;{\underset {D}{\sim }}\;x\Leftrightarrow \exists h\in H\;{\mbox{tal que}}\;y=hx}$, para as coclasses à direita e ${\displaystyle y\;{\underset {E}{\sim }}\;x\Leftrightarrow \exists h\in H\;{\mbox{tal que}}\;y=xh}$, para as coclasses à esquerda.^[1]

Dada uma partição de um conjunto, um sistema de representantes é um conjunto ${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in \Gamma }}$ que tem exatamente um elemento em cada subconjunto da partição. Ou seja, se ${\displaystyle x}$ for um representante da coclasse ${\displaystyle Hx}$, é claro que para um ${\displaystyle x'=hx}$ para certo ${\displaystyle h\in H}$, então ${\displaystyle Hx'=Hx}$, e, portanto ${\displaystyle x'}$ é outro representante da mesma coclasse ${\displaystyle Hx}$.

Quando o conjunto das coclasses (à direita ou à esquerda) de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle G}$ é finito, dizemos que ${\displaystyle H}$ é um subgrupo de índice finito em ${\displaystyle G}$, e a cardinalidade do conjunto das coclasses é chamado índice de ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle G}$, e denotado por ${\displaystyle |G:H|}$, ou também por ${\displaystyle (G:H)}$. A definição de índice é independente de ter sido tomado uma coclasse à direita ou à esquerda, pois a aplicação ${\displaystyle f:\{{\mbox{coclasses à direita}}\}\rightarrow \{{\mbox{coclasses à esquerda}}\}}$ dada por ${\displaystyle Hx\mapsto x^{-1}H}$ estabelece uma bijeção bem definida entre os dois conjuntos, o que ${\displaystyle Hx\mapsto xH}$ não faz, por não ser bem definida (e, portanto não é função!), pois a imagem depende do representante da coclasse.^[2]

As coclasses são ferramentas básicas para o estudo de grupos; por exemplo, elas cumprem um papel fundamental no teorema de Lagrange.

Referências