Bola (matemática)

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta (excluindo-os).

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricos

Num espaço métrico ${\displaystyle (X,d)\,\!}$, a bola aberta de raio ${\displaystyle \delta \,\!}$ centrada num ponto ${\displaystyle x\,\!}$ é o conjunto de pontos cuja distância a ${\displaystyle x\,\!}$ é inferior a ${\displaystyle \delta \,\!}$, isto é, ${\displaystyle B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)<\delta \}\,\!}$;

A bola fechada de raio ${\displaystyle \delta \,\!}$ centrada num ponto ${\displaystyle x\,\!}$ é o conjunto de pontos à distância de ${\displaystyle x\,\!}$ não superior a ${\displaystyle \delta \,\!}$, isto é, ${\displaystyle B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)\leq \delta \}\,\!}$.

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

Exemplos

• Em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, uma bola é um intervalo.^[1]
• Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso.^[2][1]
• Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, uma bola é o espaço interior a uma esfera.
• Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
• Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ com a métrica ${\displaystyle d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|_{\infty }={\mbox{max}}(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)}$, uma bola é um quadrado.^[1]
• Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ com a métrica ${\displaystyle d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|_{1}=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|}$, uma bola é um losango.
• Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Propriedades

Em qualquer espaço métrico ${\displaystyle (X,d)\,\!}$,

• Toda bola aberta é um aberto de X.^[2]
• Toda bola fechada é um fechado de X.^[2]
• Um subconjunto é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola.^[3]

No ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ com qualquer norma, todas bolas são convexas, sejam abertas ou fechadas.^[4]

Esferas e Bolas Unitárias no espaço Euclidiano

No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ que satisfaz a equação

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}$

e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

Fórmulas de área e volume

O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos V_n, pode ser expressa em termos da função gama por

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {se~} n\geq 0\mathrm {~e~par,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {se~} n\geq 0\mathrm {~e~impar,} \end{cases}}}$

onde n!! é o duplo fatorial.

A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por A_n, pode ser expressa da forma

${\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}$

onde a última igualdade vale para n > 0.

As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle A_{n}}$ (área da superfície)		${\displaystyle V_{n}}$ (volume)
0	${\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}}$	0	${\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}$	1
1	${\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2	${\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2
2	${\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }$	6.283	${\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }$	3.141
3	${\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }$	12.57	${\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }$	4.189
4	${\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}$	19.74	${\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}$	4.935
5	${\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}$	26.32	${\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}$	5.264
6	${\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}$	31.01	${\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}$	5.168
7	${\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}$	33.07	${\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}$	4.725
8	${\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}$	32.47	${\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}$	4.059
9	${\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}$	29.69	${\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}$	3.299
10	${\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}$	25.50	${\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}$	2.550

onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.

Recursão

Os valores de A_n satisfazem a recursão:

${\displaystyle A_{0}=0}$

${\displaystyle A_{1}=2}$

${\displaystyle A_{2}=2\pi }$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}}$ para ${\displaystyle n>2}$.

Os valores de V_n satisfazem a recursão:

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$ para ${\displaystyle n>1}$.

Dimensão Fracional

As fórmulas para A_n e V_n podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.

Outros raios

A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é A_n rⁿ⁻¹ e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é V_n rⁿ. Particularmente, a área é A = 4π r² para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4π r³ / 3 para a bola tridimensional de raio r.

Referências

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

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