Dla dowolnej liczby naturalnej
-ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany jako
![{\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{\xi }(X-\xi )=\prod _{\stackrel {1\leqslant k\leqslant n}{\gcd(k,n)=1}}\left(X-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d35f047d254d2e09bf598b1f606a644b142359)
gdzie iloczyn przebiega przez wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki stopnia
(takie, że
nie jest pierwiastkiem mniejszego stopnia).
Własności
- stopień
wynosi
(funkcja Eulera); - wielomian
dzieli
ale nie dzieli
dla żadnego ![{\displaystyle k<n;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd165e1ed500e706b5c838133f7d1e5464d06b52)
- współczynniki
są całkowite; - wielomian
jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych; - ciało cyklotomiczne, będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych o pierwiastki
-tego stopnia z jedności, jest ciałem rozkładu wielomianu ![{\displaystyle \Phi _{n}(X);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16471ee3d6c436824a34e7bb43f99a1868e478c)
- zachodzą wzory
![{\displaystyle X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322d08bb7c55450121e58c26d5f46a1aaaba2061)
![{\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{d|n}(X^{d}-1)^{\mu ({\frac {n}{d}})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8a3d0416bbbcefba801e73531e18acbaef5ff3)
gdzie
jest funkcją Möbiusa.
Dla liczb pierwszych
![{\displaystyle \Phi _{p}(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots +X+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937c41c5c235677f106041aa32ecd4daa993fed6)
Wielomiany cyklotomiczne mogą być wykorzystane przy elementarnym dowodzie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych przystających do 1 modulo
(szczególny przypadek twierdzenia Dirichleta).
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cyclotomic Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).