Transformacja Boxa-Mullera

Transformacja Boxa-Mullera – metoda generowania liczb losowych o rozkładzie normalnym, na podstawie dwóch wartości zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale ( 0 , 1 ] . {\displaystyle (0,1].}

Niech U 1 {\displaystyle U_{1}} oraz U 2 {\displaystyle U_{2}} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na ( 0 , 1 ] . {\displaystyle (0,1].} Niech zmienne R , Θ {\displaystyle R,\Theta } dane w odpowiednim układzie współrzędnych polarnych spełniają

R 2 = − 2 ⋅ ln ⁡ U 1 {\displaystyle R^{2}=-2\cdot \ln U_{1}}

oraz

Θ = 2 π U 2 . {\displaystyle \Theta =2\pi U_{2}.}

(Wówczas R , Θ {\displaystyle R,\Theta } są niezależne.) Połóżmy

Z 1 = R cos ⁡ Θ = − 2 ln ⁡ U 1 cos ⁡ ( 2 π U 2 ) {\displaystyle Z_{1}=R\cos \Theta ={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\cos(2\pi U_{2})}

oraz

Z 2 = R sin ⁡ Θ = − 2 ln ⁡ U 1 sin ⁡ ( 2 π U 2 ) . {\displaystyle Z_{2}=R\sin \Theta ={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\sin(2\pi U_{2}).}

Wówczas zmienne losowe Z 1 , Z 2 {\displaystyle Z_{1},Z_{2}} są niezależne i o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 1.