Równanie Majorany

Równanie falowe, liniowe opisujące cząstkę o dowolnym ustalonym spinie s oraz dodatniej energii.

${\displaystyle (EI-c{\vec {\alpha }}{\vec {p}}-\beta Mc^{2})\psi =0,}$

gdzie:

${\displaystyle I}$ – operator jednostkowy,

${\displaystyle {\vec {\alpha }},\beta }$ – pewne operatory hermitowskie,

${\displaystyle M}$ – dodatnia stała o wymiarze masy.

Aby uniknąć energii ujemnych Majorana założył, że operator ${\displaystyle \beta }$ jest dodatnio określony. Założenie to dyskwalifikowało związek pomiędzy ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle p}$ jak było w przypadku równania Diraca. Dzięki ${\displaystyle \beta >0}$ zamiast ${\displaystyle \psi }$ można równoważnie wprowadzić nową funkcję falową:

${\displaystyle {\tilde {\psi }}=\beta ^{1/2}\psi }$

spełniającą równanie

${\displaystyle (\Gamma _{\mu }p^{\mu }-McI){\tilde {\psi }}=0,}$

gdzie:

${\displaystyle \Gamma _{0}=\beta ^{-1},}$

${\displaystyle \Gamma _{i}=-\beta ^{-1/2}\alpha ^{i}\beta ^{-1/2},}$

${\displaystyle (p^{\mu })=(E/c,{\vec {p}}).}$

Operatory ${\displaystyle \Gamma _{\mu }}$ gdzie ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$ są hermitowskie. Funkcjonał działania odpowiadający równaniu Majorany ma postać:

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\tilde {\psi }}^{\dagger }(\Gamma _{\mu }p^{\mu }-McI){\tilde {\psi }}.}$