Równania Chapmana-Kołmogorowa

Ten artykuł należy dopracować: od 2020-09 → napisać/poprawić definicję, od 2020-09 → zweryfikować treść i dodać przypisy. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równanie Chapmana – Kołmogorowa – odnosi się do jednorodnych procesów Markowa i wyraża się wzorem:

${\displaystyle P_{ij}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{P_{ik}(t)P_{kj}(s)},}$

gdzie ${\displaystyle P_{ij}(t)=P(\xi (t)=j|\xi (0)=i)}$ jest prawdopodobieństwem przejścia ze stanu ${\displaystyle i}$ do ${\displaystyle j}$ w czasie ${\displaystyle t,}$ a ${\displaystyle \xi }$ jest zmienną losową.

Równanie Chapmana-Kołmogorowa oznacza, iż prawdopodobieństwo przejścia ze stanu ${\displaystyle i}$ do ${\displaystyle j}$ w czasie ${\displaystyle t+s}$ może być realizowane w ten sposób, że najpierw zachodzi przejście ze stanu ${\displaystyle i}$ do ${\displaystyle k}$ w czasie ${\displaystyle t,}$ a następnie ze stanu ${\displaystyle k}$ do stanu ${\displaystyle j}$ w czasie ${\displaystyle s.}$ Takie przejścia mogą się odbywać na ${\displaystyle n+1}$ sposobów w zależności od wyboru stanu pośredniego ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

Równanie to jest jednak prawdziwe tylko dla procesów Markowa, ponieważ tylko one mają własność zwaną brakiem pamięci, co oznacza, że prawdopodobieństwo ${\displaystyle P_{kj}(s)}$ nie zależy od stanu ${\displaystyle i,}$ czyli od historii procesu.

Dokonując odpowiednich przekształceń tego wzoru otrzymamy równania Kołmogorowa.

Zobacz też

• łańcuch Markowa