Odcinek koła

Odcinek koła – figura geometryczna, część koła ograniczona cięciwą wyznaczającą kąt środkowy ${\displaystyle \theta }$ okręgu oraz łukiem okręgu ograniczonym przez ramiona tego kąta. Parametry odcinka koła: długość cięciwy ${\displaystyle c}$ i wysokość (strzałka łuku) ${\displaystyle h}$ powiązane są ze sobą wzorem

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-(c/2)^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle R}$ jest promieniem koła.

Pole odcinka koła

Niech ${\displaystyle R}$ będzie długością promienia koła. Wówczas długość łuku ${\displaystyle s=R\theta ,}$ gdzie miara kąta ${\displaystyle \theta }$ jest wyrażona w radianach. Pole odcinka koła wynosi

${\displaystyle P={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right).}$

Wyprowadzenie wzoru

Pole odcinka koła stanowi różnicę pola wycinka koła ograniczonego ramionami kąta ${\displaystyle \theta }$ oraz pola trójkąta ograniczonego tymi ramionami i cięciwą. Pole wycinka koła wynosi ${\displaystyle \pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ Pole trójkąta o ramionach długości ${\displaystyle R}$ i kącie ${\displaystyle \theta }$ między tymi ramionami wynosi

${\displaystyle {\frac {1}{2}}R^{2}\sin(\theta ).}$

Zatem pole odcinka koła jest ostatecznie równe

${\displaystyle R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(\theta )\right)={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin(\theta )).}$

Wzory

Wzory na pole i obwód odcinka koła

	${\displaystyle \theta }$ w stopniach	${\displaystyle \theta }$ w radianach
Pole odcinka koła	${\displaystyle P={\frac {\pi R^{2}\theta }{360}}-{\frac {R^{2}\sin {\theta }}{2}}}$	${\displaystyle P={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$
Obwód odcinka koła	${\displaystyle l={\frac {\theta }{180}}\pi R+2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$	${\displaystyle l=\theta R+2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Circular Segment, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).