Funkcja antyholomorficzna

Funkcja antyholomorficzna (także funkcja antyanalityczna) – funkcja mająca bliski związek z funkcją holomorficzną.

Definicja formalna

Funkcja zmiennej ${\displaystyle z}$ określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej nazywana jest antyholomorficzną, jeżeli w każdym punkcie swej dziedziny istnieje jej pochodna względem ${\displaystyle z^{*}}$ oznaczającego sprzężenie zespolone ${\displaystyle z.}$

Właściwości

Można wykazać, że jeżeli ${\displaystyle f(z)}$ jest funkcją holomorficzną na zbiorze otwartym ${\displaystyle D,}$ to ${\displaystyle f(z^{*})}$ jest antyholomorficzna na ${\displaystyle D^{*}}$ – zbiorze symetrycznym do ${\displaystyle D}$ względem osi rzeczywistej lub, innymi słowy, zbiorze sprzężeń zespolonych elementów należących do ${\displaystyle D.}$ Co więcej, każda funkcja antyholomorficzna może być uzyskana w ten sposób z funkcji holomorficznej. Oznacza to, że funkcja jest antyholomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy może być rozwinięta w szereg potęgowy względem ${\displaystyle z^{*}}$ wokół każdego punktu swojej dziedziny.

Jeżeli funkcja jest zarazem holomorficzna i antyholomorficzna, to jest ona stała na każdej spójnej składowej swojej dziedziny. Funkcja, która zależy tak od ${\displaystyle z,}$ jak i od ${\displaystyle z^{*}}$ nie jest ani holomorficzna, ani antyholomorficzna.