Algebra zewnętrzna

Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.
Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.
Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego n {\displaystyle n} elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej), 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni, objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów u {\displaystyle \mathbf {u} } oraz v , {\displaystyle \mathbf {v} ,} oznacza się symbolem u ∧ v {\displaystyle \mathbf {u} \land \mathbf {v} } i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach u {\displaystyle u} oraz v . {\displaystyle v.} W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów u {\displaystyle \mathbf {u} } oraz v . {\displaystyle \mathbf {v} .}

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. u ∧ v = − ( v ∧ u ) . {\displaystyle \mathbf {u} \land \mathbf {v} =-(\mathbf {v} \land \mathbf {u} ).} W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj. ( u ∧ v ) ∧ w = u ∧ ( v ∧ w ) . {\displaystyle (\mathbf {u} \land \mathbf {v} )\land \mathbf {w} =\mathbf {u} \land (\mathbf {v} \land \mathbf {w} ).}

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

u ∧ v = 0 , {\displaystyle \mathbf {u} \land \mathbf {v} =0,}

jeżeli wektory u , v {\displaystyle u,v} są równoległe.

Przykład

Pole elementu na płaszczyźnie

(1) Płaszczyzna R 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}} jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

e 1 = [ 1 0 ] , e 2 = [ 0 1 ] . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}

Niech dane będą dwa wektory R 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}

v = [ a b ] = a e 1 + b e 2 , w = [ c d ] = c e 1 + d e 2 , {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2},}

które wyznaczają równoległobok, mający v {\displaystyle \mathbf {v} } oraz w {\displaystyle \mathbf {w} } jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

Area = | det [ v w ] | = | det [ a c b d ] | = | a d − b c | . {\displaystyle {\text{Area}}={\big |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\big |}=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów v {\displaystyle \mathbf {v} } oraz w : {\displaystyle \mathbf {w} {:}}

v ∧ w = ( a e 1 + b e 2 ) ∧ ( c e 1 + d e 2 ) = a c e 1 ∧ e 1 + a d e 1 ∧ e 2 + b c e 2 ∧ e 1 + b d e 2 ∧ e 2 = ( a d − b c ) e 1 ∧ e 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że e 2 ∧ e 1 = − ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\land \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\land \mathbf {e} _{2}).} (Wynika stąd np. że e 1 ∧ e 1 = e 2 ∧ e 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0} ). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy [ v   w ] . {\displaystyle [\mathbf {v\ w} ].} Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów v {\displaystyle \mathbf {v} } oraz w , {\displaystyle \mathbf {w} ,} która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli A ( v , w ) {\displaystyle A(\mathbf {v,w} )} jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory v {\displaystyle \mathbf {v} } oraz w , {\displaystyle \mathbf {w} ,} to A {\displaystyle A} ma następujące właściwości:

  1. A ( j v , k w ) = j k A ( v , k w ) {\displaystyle A(j\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )=jkA(\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )} dla dowolnych liczb rzeczywistych j {\displaystyle j} oraz k , {\displaystyle k,} ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
  2. A ( v , v ) = 0 , {\displaystyle A(\mathbf {v,v} )=0,} ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
  3. A ( w , v ) = − A ( v , w ) , {\displaystyle A(\mathbf {w,v} )=-A(\mathbf {v,w} ),} ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
  4. A ( v + j w , w ) = A ( v , w ) {\displaystyle A(\mathbf {v} +j\mathbf {w} ,\mathbf {w} )=A(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )} dla dowolnych j , {\displaystyle j,} ponieważ dodanie wielokrotności wektora w {\displaystyle \mathbf {w} } do v {\displaystyle \mathbf {v} } nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
  5. A ( e 1 , e 2 ) = 1 , {\displaystyle A(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})=1,} ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

  • liniowe: u ∧ ( α v + β w ) = α u ∧ v + β u ∧ w , {\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ,}
  • łączne: ( u ∧ v ) ∧ w = u ∧ ( v ∧ w ) = u ∧ v ∧ w , {\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} ,}
  • alternujące: u ∧ v = − v ∧ u , u ∧ u = 0 , {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =-\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ,\quad \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0,}

gdzie u , {\displaystyle \mathbf {u} ,} v {\displaystyle \mathbf {v} } oraz w {\displaystyle \mathbf {w} } są wektorami w V , {\displaystyle V,} zaś α ,   β {\displaystyle \alpha ,\ \beta } to skalary.

Iloczyn p {\displaystyle p} wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej V . {\displaystyle V.}

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest ( n p ) {\displaystyle {\tbinom {n}{p}}} p-wektorów w {\displaystyle w} n {\displaystyle n} -wymiarowej przestrzeni wektorowej[1]

Wielowektor

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli V {\displaystyle V} jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

v 1 ∧ ⋯ ∧ v k , {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}

gdzie v 1 , … , v k {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}} są wektorami w przestrzeni V . {\displaystyle V.}

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963.

Bibliografia

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
  • Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Exterior algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Encyklopedie internetowe (associative algebra):
  • Britannica: topic/Grassmann-algebra