真理関数(しんりかんすう、英:Truth function) とは、数理論理学において、真理値の各変数の変域と終集合とがそれぞれ『「真な命題」と「偽な命題」のみから成る集合』に等しいような写像である。真理関数は命題関数でもある。
定義
真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
- 真な命題を表す記号 :
![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7)
- 偽な命題を表す記号 :
![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a)
L を
と
とだけから成る集合とし、n を自然数とする。そのとき、n 個の L の直積
から L への写像を n 変数の真理関数という。
主な真理関数
1 変数の真理関数 ¬ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、A 、B は L の元の変数である。
![{\displaystyle \lnot A={\begin{cases}\ \curlywedge &{\mbox{if }}A=\curlyvee \\\ \curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4c283245c46443f543e795754d0cfcff114e64)
![{\displaystyle A\lor B={\begin{cases}\ \curlywedge &{\mbox{if }}A=B=\curlywedge \\\ \curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd480ef39a87de3fda6d6be54e7a3bbcc8d178e)
![{\displaystyle A\land B={\begin{cases}\ \curlyvee &{\mbox{if }}A=B=\curlyvee \\\ \curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e8408b1b6a54f5c1e180ac675ecdf3e89efb8d)
¬A 、A∨B 、A∧B をそれぞれ、A の否定、A と B との論理和、A と B との論理積という。n 変数の真理関数は全部で
個ある。
真理値表
真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。
¬ の真理値表 A | ¬A |
![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | |
![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | |
∨ の真理値表 A | B | A∨B |
![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | ![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | |
![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | ![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | |
![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | ![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | |
![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | ![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | |
∧ の真理値表 A | B | A∧B |
![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | ![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | |
![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | ![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | |
![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | ![{\displaystyle \curlyvee }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a6bfb97028d424422182ca771958edcd123d7) | |
![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | ![{\displaystyle \curlywedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323eccf372f795a0e24aa84965b51b884314ba4a) | |
真理値表は次のように見る。¬ の真理値表の第 1 行は 「 A =
であるとき、¬A =
である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 A =
、B =
であるとき、A∨B =
である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 A =
、B =
であるとき、A∧B =
である 」 を意味する。
真理集合
F を n 変数の真理関数とするとき、F(X) =
を満たす
の元 X 全体から成る集合を F の真理集合といい、[F] で表わす。
例
![{\displaystyle [\ \lnot \ ]=\{\ X\ |\ X\in L,\ \lnot X=\curlyvee \ \}=\{\ \curlywedge \ \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad532b40aaf44dfc8fc160734738e165f5c7fd5)
![{\displaystyle [\ \lor \ ]=\{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\lor X_{2}=\curlyvee \ \}=\{\ (\curlyvee ,\curlyvee ),(\curlyvee ,\curlywedge ),(\curlywedge ,\curlyvee )\ \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e37499a5f7ebab1195da66929e88e814ae6d1c)
![{\displaystyle [\ \land \ ]=\{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\land X_{2}=\curlyvee \ \}=\{\ (\curlyvee ,\curlyvee )\ \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a229e28efdb556de6e569d6e7249168470dc4728)
2 つの真理関数 F と G とが等しいことは、F の真理集合と G の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。
関連項目
参考文献
- 前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。