極集合

函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合（きょくしゅうごう、英: polar set）とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。

双対組 ${\displaystyle (X,Y)}$ が与えられたとき、${\displaystyle X}$ のある部分集合 ${\displaystyle A}$ の極集合あるいは極とは、次で定義される ${\displaystyle Y}$ 内の集合 ${\displaystyle A^{\circ }}$ のことを言う。

${\displaystyle A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}$

${\displaystyle X}$ の部分集合 ${\displaystyle A}$ の双極（bipolar）とは、${\displaystyle A^{\circ }}$ の極集合のことを言う。それは ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ と表記される ${\displaystyle X}$ 内の集合である。

性質

• ${\displaystyle A^{\circ }}$ は絶対凸である。
• ${\displaystyle A\subseteq B}$ ならば ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ }}$ である。
  • したがって ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}^{\circ }\subseteq (\bigcap _{i\in I}A_{i})^{\circ }}$ である。ここで集合の等号は必ずしも成立しない。
• すべての ${\displaystyle \gamma \neq 0}$ に対して、次が成り立つ：${\displaystyle (\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }}$
• ${\displaystyle (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }}$
• 双対組 ${\displaystyle (X,Y)}$ に対し、${\displaystyle A^{\circ }}$ は ${\displaystyle Y}$ 上の弱*位相（英語版）の下で ${\displaystyle Y}$ において閉である。
• ある集合 ${\displaystyle A}$ の双極 ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ は、${\displaystyle A}$ の絶対凸包絡集合である。すなわち、${\displaystyle A}$ を含む最小の絶対凸集合である。${\displaystyle A}$ がすでに絶対凸であるなら、${\displaystyle A^{\circ \circ }=A}$ が成り立つ。
• ${\displaystyle X}$ 内の閉凸錐 ${\displaystyle C}$ に対し、極錐 は ${\displaystyle C}$ に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。

${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup\{\langle x,y\rangle :x\in C\}\leq 1\}}$.^[1]

幾何学

幾何学において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点 ${\displaystyle x_{0}}$ の極集合は、${\displaystyle \langle x,x_{0}\rangle =0}$ を満たす点 ${\displaystyle x}$ の集合で与えられ、それは極超平面（polar hyperplane）であり、超平面に対する双対関係はその極を与える。

関連項目

• 極錐
• 双極定理

参考文献

ポテンシャル論における極集合に関する文献： Ransford, Thomas: Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society Student Texts 28, CUP, 1995, pp. 55-58.