乗法群

数学と群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する：

体、環、あるいはその演算の 1 つとして乗法をもつ他の構造の、可逆元が乗法の下でなす群^[1]。体 F の場合には、群は {F ∖ {0}, •} である、ただし 0 は F の零元であり二項演算 • は体の乗法である。
代数的トーラス（英語版） GL(1).

1 の冪根の群スキーム

1の n 乗根の群スキーム (group scheme of n-th roots of unity) は定義によって群スキーム（英語版）と考えて乗法群 GL(1) への n ベキ写像の核である。つまり、任意の整数 n > 1 に対して、単位元として働く射 e とともに、n 乗をとる乗法群の射を考えそのスキーム論の意味で適切なファイバー積をとることができる。

得られる群スキームは μ_n と書かれる。体 K 上とったときそれが被約スキーム（英語版）を生じることと K の標数が n を割らないことは同値である。これによってそれは非被約スキーム（構造層に冪零元があるスキーム）のいくつかの重要な例の源となる。例えば任意の素数 p に対して p 個の元からなる有限体上の μ_p。

この現象は代数幾何学の古典的な言葉で容易には表現されない。例えば標数 p のアーベル多様体の双対理論（英語版）（Pierre Cartier の理論）を表現するのにそれはかなり重要であることがわかる。この群スキームのガロワコホモロジーはクンマー理論を表現する方法である。

例

n を法とする整数の乗法群（英語版）は群 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ の可逆元が乗法についてなす群である。n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。

脚注

^ See Hazewinkel et al. (2004), p. 2.

参考文献

Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0