ジーゲル・ウォルフィッツの定理

アーノルド・ウォルフィッツ

解析的整数論における、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(英: Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲルによる定理[1]の算術級数における素数（英語版）(primes in arithmetic progression)への応用として、アーノルド・ウォルフィッツ（英語版）(Arnold Walfisz)により得られた。[2]

定理の内容

ψ ( x ; q , a ) = ∑ n ≤ x n ≡ a ( mod q ) Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n)}

と定義する。ここに Λ {\displaystyle \Lambda } はフォン・マンゴルト函数 で ϕ {\displaystyle \phi } オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 C N {\displaystyle C_{N}} が存在することを主張する。(a, q) = 1 かつ

q ≤ ( log ⁡ x ) N {\displaystyle q\leq (\log x)^{N}}

であるときは、必ず

ψ ( x ; q , a ) = x φ ( q ) + O ( x exp ⁡ ( − C N ( log ⁡ x ) 1 2 ) ) {\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)}

となる。

注意

定数 C N {\displaystyle C_{N}} は計算可能ではないため、ジーゲルの定理は有効でない。

定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、 π ( x ; q , a ) {\displaystyle \pi (x;q,a)} により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、

π ( x ; q , a ) = L i ( x ) φ ( q ) + O ( x exp ⁡ ( − C N 2 ( log ⁡ x ) 1 2 ) ) , {\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}

となる。ここに N, a, q, CN, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。

参考文献

  1. ^ Siegel, Carl Ludwig (1935). “Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper [On the class numbers of quadratic fields]” (ドイツ語). Acta Arithmetica 1 (1): 83–86. http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav1i1p83bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-aa-1935-1-1;6. 
  2. ^ Walfisz, Arnold (1936). “Zur additiven Zahlentheorie. II ”. Mathematische Zeitschrift 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882.  （ドイツ語）