各温度における黒体輻射のエネルギー密度の波長ごとのスペクトル ウィーンの変位則(ウィーンのへんいそく、英: Wien's displacement law)とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。
ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。
なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則と呼ばれることも多い。
関係式
![{\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5c9c4bae9e811fd33cdcc49fc06a464d47f4d8)
ここで T は黒体の温度(K)、λmax はピーク波長(m)、b は比例定数であり、
その値は
2.897771955...×10−3 m⋅K
である[1]。
例
物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる(色温度も参照)。
導出
ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。
プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 u は次式で表される:
![{\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654d7ae605af381567a1d506d9337bb76d27f536)
波長の最大値 λmax を求めるために、波長分布 u(λ) を λ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}\,{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ecb42280fa09bb2f9156c0da482a25f70a0812)
ここで x = hc/λmaxkT とすると、
![{\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6987d62958c955e8b7ba35bce1bd1450c3759b6f)
となる。この解はランベルトのW関数で、
![{\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023294fac118ac63285f1ffaf99328dff508b1f7)
と表される。x から λmax を求めると、
![{\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f64fa86f9ca906d1a1a36934513745b92243853)
を得る。
別の導出
振動数で表示されたプランクの公式
![{\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624e19e34a14c89bdaa1b524c1dd7267280c39e5)
を用いても、同様の導出が可能である。この場合、x = hνmax/kT は
![{\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb01697870a26ed01fdd1376af7baf944a0d75c)
の解で、
![{\displaystyle x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411cb13f701aaf96d7817554f0148a84888b357d)
となる。したがってピークにおける振動数は
![{\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa056145df9991be901603fb3e192c6f6b0a289e)
となる。
ではないことに注意が必要である。
脚注
[脚注の使い方]
- 出典
- ^ “CODATA 2018, Wien wavelength displacement law constant”. NIST. 2022年3月6日閲覧。
関連項目