Disambiguazione – Se stai cercando l'analogo concetto in analisi complessa e teoria del potenziale, vedi Insieme polare. In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà.
Definizione
Si definisce coppia duale una tripla composta da due spazi vettoriali
e
sullo stesso campo
(dei numeri reali o complessi) e da una forma bilineare
tale che:
![{\displaystyle \forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77235421542dc33d79a0fa6df5543526772e8c1)
![{\displaystyle \forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7683aec8f1d29e23d29b8cdeb14d6483d58618b4)
Due elementi
e
sono ortogonali se
, mentre due insiemi
e
sono ortogonali se ogni coppia di elementi in
e
è formata da vettori ortogonali fra loro.
L'insieme polare di un sottoinsieme
in
è l'insieme
in
definito come:
![{\displaystyle A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020f857c8a8adc129561053553bb81275a17cd14)
L'insieme detto insieme bipolare di un sottoinsieme
di
è il polare in
di
, e si denota con
.
Proprietà
è assolutamente convesso - Se
allora ![{\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938d7ba6d8f96af84f150f9ac8b97ca8190681e3)
![{\displaystyle (\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }\qquad \forall \gamma \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc54a9cb3d3c0ba46a70d4b05365be6d65d4bc8)
![{\displaystyle (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673aa5dadcba47f8c390af36cd9c4d84ce7ba3a7)
- Per una coppia duale
,
è chiuso in
rispetto alla topologia debole* su
. - Il bipolare
di
è l'inviluppo assolutamente convesso di
, ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente
. Se
è già assolutamente convesso allora
.
Bibliografia
- (EN) C.D. Aliprantis e K.C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3ª ed., Springer, 2007, p. 215, DOI:10.1007/3-540-29587-9, ISBN 978-3-540-32696-0.
Voci correlate
- Forma bilineare
- Spazio duale
- Topologia polare
Collegamenti esterni
- Antonio Marigonda - Note sul seminario del prof. Vladimir V. Goncharov per il corso di analisi funzionale (PDF), su profs.sci.univr.it.
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