Insieme aperto

I punti ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} del piano cartesiano che soddisfano la relazione x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio r {\displaystyle r} . I punti tali che x 2 + y 2 < r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}} sono disegnati in rosso. La parte disegnata in rosso forma un insieme aperto, mentre l'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso.

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.

Spazi topologici

La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X , {\displaystyle X,} se una qualunque collezione T {\displaystyle {\mathcal {T}}} di sottoinsiemi di X {\displaystyle X} soddisfa le proprietà riportate sotto, X {\displaystyle X} diventa uno spazio topologico, T {\displaystyle {\mathcal {T}}} viene chiamata topologia di X {\displaystyle X} e gli insiemi di T , {\displaystyle {\mathcal {T}},} per definizione, i suoi aperti.

Perché la collezione T {\displaystyle {\mathcal {T}}} sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

  1. l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T {\displaystyle {\mathcal {T}}} è ancora un insieme di T ; {\displaystyle {\mathcal {T}};}
  2. l'intersezione di un numero finito di insiemi di T {\displaystyle {\mathcal {T}}} è ancora un insieme di T ; {\displaystyle {\mathcal {T}};}
  3. l'insieme X {\displaystyle X} e l'insieme vuoto appartengono a T . {\displaystyle {\mathcal {T}}.}

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia ( X , T ) . {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).} È da notare che se si considera uno stesso insieme X {\displaystyle X} con due diverse topologie T {\displaystyle {\mathcal {T}}} e T ′ , {\displaystyle {\mathcal {T}}',} si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

Spazi metrici

In uno spazio metrico ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} , un sottoinsieme U {\displaystyle U} di M {\displaystyle M} si dice aperto se, per ogni x ∈ U {\displaystyle x\in U} , esiste un numero reale ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} tale che i punti che distano da x {\displaystyle x} per meno di ϵ {\displaystyle \epsilon } appartengono ancora a U {\displaystyle U} . Formalmente: se d ( x , y ) < ϵ {\displaystyle d(x,y)<\epsilon } , allora y ∈ U {\displaystyle y\in U} . Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M {\displaystyle M} secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto U {\displaystyle U} dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni x {\displaystyle x} di U {\displaystyle U} esiste una palla di raggio r > 0 {\displaystyle r>0} centrata in x {\displaystyle x} , interamente contenuta in U {\displaystyle U} .

In particolare, un intervallo in R {\displaystyle \mathbb {R} } è aperto se è del tipo ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , dove a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} possono anche essere rispettivamente − ∞ {\displaystyle -\infty } e + ∞ {\displaystyle +\infty } .

Insieme chiuso

A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.

Bibliografia

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate

  • Insieme chiuso
  • Intorno

Collegamenti esterni

  • (EN) open set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Insieme aperto, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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