Formula di de Moivre

La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi, ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse x l'asse dei reali e l'asse ${\displaystyle y}$ l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),}$

valida per ogni numero reale ${\displaystyle x}$, con ${\displaystyle n}$ intero e ${\displaystyle i}$ unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per ${\displaystyle \cos(nx)}$ e ${\displaystyle \sin(nx)}$ in termini di ${\displaystyle \sin(x)}$ e ${\displaystyle \cos(x)}$. Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi ${\displaystyle z}$ tali che ${\displaystyle z^{n}=1}$.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

e dalla legge esponenziale

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.}$

Distinguiamo i tre casi relativi a ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle n=0}$ e ${\displaystyle n<0}$.

Per ${\displaystyle n>0}$ si procede per induzione. Per ${\displaystyle n=1}$ la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo ${\displaystyle k}$, cioè assumiamo

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k}=\cos(kx)+i\sin(kx).}$

Consideriamo poi il caso ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k+1}}$

${\displaystyle =(\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}}$

${\displaystyle =\left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)}$ (per l'ipotesi induttiva)

${\displaystyle =\cos(kx)\cos x-\sin(kx)\sin x+i\left[\cos(kx)\sin x+\sin(kx)\cos x\right]}$

${\displaystyle =\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]}$ (per le formule di addizione di seno e coseno)

L'ultima identità dice che la formula, se vale per ${\displaystyle n=k}$ allora è valida per ${\displaystyle n=k+1}$ e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli ${\displaystyle n}$ interi positivi.

Per ${\displaystyle n=0}$ la formula si riduce alla semplice identità ${\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}$, e ${\displaystyle z^{0}=1}$.

Per ${\displaystyle n<0}$, si considera l'intero positivo ${\displaystyle m=-n}$. Di conseguenza

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=(\cos x+i\sin x)^{-m}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{m}}}={\frac {1}{(\cos mx+i\sin mx)}}}$, per quanto vale per ${\displaystyle n>0}$; razionalizzando il denominatore

${\displaystyle ={\frac {\cos(mx)-i\sin(mx)}{\cos ^{2}(mx)+\sin ^{2}(mx)}}=\cos(mx)-i\sin(mx),}$ e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,

${\displaystyle =\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di ${\displaystyle n}$. QED

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente.

Se ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle w}$ sono numeri complessi, allora

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}$

assume più di un valore, mentre

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)}$

ha un solo valore. Comunque sia, ${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)}$ è uno dei valori di ${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}.}$

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover Publications, 1964, p. 74, ISBN 0-486-61272-4.

• Abraham de Moivre
• Isaac Newton
• Eulero
• Numeri complessi
• Trigonometria
• Polinomi di Chebyshev

• Moivre (de), formula di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Formula di de Moivre, su MathWorld, Wolfram Research.

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