Mellin-transzformáció

Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció, amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el. A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója. Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal. Gyakran használják a számelméletben, a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében. Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz, a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez.

A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai, hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki. Először Bernhard Riemann-nál található meg, aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta. A transzformáció, valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg. A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre.

Definíció

Egy, a pozitív valós számokon definiált ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ függvény Mellin-transzformáltja:

${\displaystyle M_{f}(s):=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t}$

a komplex s számokra, ahol az integrál konvergál. Az irodalomban a ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (s)}}}$ tényezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják, így

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.}$

ahol ${\displaystyle \Gamma }$ a gamma-függvény.

Inverz transzformáció

Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }M_{f}(s)x^{-s}\mathrm {d} s}$

ahol ${\displaystyle M_{f}(s)}$ f Mellin-transzformáltja, és ${\displaystyle b>c>a>0}$.

Az inverz transzformáció feltételei:

• Az ${\displaystyle M_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\mathrm {d} x}$ integrál abszolút konvergens az ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}}$ csíkokban
• ${\displaystyle M_{f}(s)}$ analitikus az ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}}$ csíkokban
• Az ${\displaystyle M_{f}(c\pm it)}$ kifejezés nullához tart, ha ${\displaystyle t\to \infty }$, és c egyenletesen tart 0-hoz
• Az ${\displaystyle f(x)}$ függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén, ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni (lépcsős függvény)

Kapcsolat a többi transzformációval

A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz. Ugyanis elvégezve az ${\displaystyle t=e^{x}}$ helyettesítést ${\displaystyle F(x)=f(e^{x})}$ lesz, és ${\displaystyle F}$ Fourier-transzformáltja ${\displaystyle {\widehat {F}}}$, akkor

${\displaystyle M_{f}(is)={\sqrt {2\pi }}{\widehat {F}}(s)}$.

Megfordítva, :${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is).}$

A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

és megfordítva, a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$

A Mellin-transzformáció értelmezhető egy x^s magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény ${\displaystyle dx}$ szerint, ami invariáns a ${\displaystyle x\mapsto ax}$ dilatációra, így ${\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$.

A kétoldali Laplace-transzformáció a ${\displaystyle dx}$ additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns, azaz ${\displaystyle d(x+a)=dx}$.

A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel, a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által.

Példák

Dirichlet-sor

A Mellin-transzformációval egy ${\displaystyle f}$ Dirichlet-sor és egy ${\displaystyle F}$ hatványsor kapcsolatba hozható egymással. Legyenek

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ és ${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

ugyanazokkal az ${\displaystyle a_{n}}$ együtthatókkal. Ekkor

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm {d} t}$.

Ha itt minden ${\displaystyle a_{n}=1}$, akkor ${\displaystyle f}$ a Riemann-féle zéta-függvény, és kapjuk a következőt:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t}$.

Cahen–Mellin-integrál

Ha ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$ és ${\displaystyle y^{-s}}$ a főágból, akkor

${\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}$

ahol ${\displaystyle \Gamma (s)}$a gamma-függvény. Ez az integrál ismert, mint Cahen-Mellin-integrál.^[1]

Számelmélet

A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{a}&x>1,\end{cases}},}$

függvényhez kapcsolódik, amire

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=-{\frac {1}{s+a}},}$

feltéve, hogy ${\displaystyle \Re (s+a)<0.}$

Izometria L²-terekben

A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be. Az ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$-tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$, így ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ definíciója

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}$

azaz

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).}$

Ezt az operátort gyakran csak mint ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ jelölik, és Mellin-transzformációnak nevezik, de cikkünkben megkülönböztetésként az ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ jelölést használjuk a továbbiakban. A Mellin-inverzió tétele szerint ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ invertálható, és inverze

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$

Továbbá ez az operátor izometria, vagyis ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ minden ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$-re. Emiatt szerepel a képletben az ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ tényező.

A valószínűségszámításban

A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához.^[2] Ha X véletlen valószínűségi változó, és pozitív része X⁺ = max{X,0}, negatív része X⁻ = max{−X,0}, akkor Mellin-transzformáltja^[3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$

ahol γ a γ² = 1 formális határozatlanja. Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b} sávban, ahol a ≤ 0 ≤ b.^[3]

Az ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó F_X eloszlásfüggvényét.^[3] Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is, hogy ha X és Y független valószínűségi változók, akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$

Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerben

A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki:

${\displaystyle {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)=f_{rr}+{f_{r} \over r}}$

Két dimenzióban például

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}$

és három dimenzióban

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető,^[4] mivel:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\rightarrow s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\rightarrow s\right)=s^{2}F}$

Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben:

${\displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0}$

beszorozva

${\displaystyle {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0}$

sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik:

${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}F=0}$

aminek általános megoldása:

${\displaystyle F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )}$

Most vegyük figyelembe a peremfeltételt:

${\displaystyle f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)}$

partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció:

${\displaystyle F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)}$.

Ezzel partikularizáljuk a megoldást:

${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$

A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz:

${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}}{2\theta _{0}}}\cos m\theta \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m-1}a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}dx+\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m-1}b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}dx\right)}$

ahol az inverz transzformáció

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\phi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\rightarrow r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\phi )}{1+2r^{m}\cos(m\phi )+r^{2m}}}}$

ahol ${\displaystyle m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}}$.

Alkalmazások

A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával. Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredetié.

Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben. A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik.

Források

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0828403245.
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

Jegyzetek

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin-Transformation című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin transform című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.