Espace mesurable

Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisable^{[réf. nécessaire]} (en théorie des probabilités), est un couple ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ où ${\displaystyle X}$ est un ensemble et ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ une tribu sur ${\displaystyle X}$. Les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sont alors appelés des ensembles mesurables de ${\displaystyle X}$.

Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure ${\displaystyle \mu }$ en vue de construire un espace mesuré ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$.

Cas des probabilités

En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ est appelé un espace probabilisable, l'ensemble ${\displaystyle \Omega }$ est appelé l'univers et les éléments de la tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sont appelés événements.

L'espace probabilisable ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, une fois complété d'une mesure de probabilité ${\displaystyle P}$ (c'est-à-dire une mesure telle que ${\displaystyle P(\Omega )=1}$) forme un espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$.

Exemples

Si ${\displaystyle X}$ un ensemble quelconque :

• ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {P}}(X)\right)}$, où ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ est l'ensemble des parties de ${\displaystyle X}$ est un espace mesurable.
• ${\displaystyle \left(X,\{\varnothing ,X\}\right)}$ est un espace mesurable, où ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$ est la tribu grossière.

Si ${\displaystyle X}$ est un espace topologique, ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$, où ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ est la tribu de Borel de ${\displaystyle X}$, est un espace mesurable.

Définitions alternatives

Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950, p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan, 1965, p. 35 c'est un ensemble muni d'un σ-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.

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