Équations équivalentes

En mathématiques, des équations équivalentes sont des équations qui ont les mêmes solutions.

Par exemple, les deux équations ${\displaystyle x^{2}-1=0}$ et ${\displaystyle x-1=0}$ sont équivalentes comme équations dans l’ensemble des nombres réels positifs, où elles ont une solution ${\displaystyle x=1}$, mais elles ne sont pas équivalentes dans l’ensemble des nombres réels, car la première équation a alors une deuxième solution ${\displaystyle x=-1}$.

Les opérations algébriques élémentaires permettent de construire des équations équivalentes à une équation donnée, en général avec l’objectif de la résoudre^[1] :

• Si l’on ajoute ou soustrait une même expression des deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Par exemple, l’équation ${\displaystyle -2x+5=-2-9x}$ est équivalente à l’équation ${\displaystyle 7x=-7}$, comme on le voit en ajoutant à chaque membre ${\displaystyle 9x-5}$.

• Si l’on multiplie ou divise par une expression non nulle les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Par exemple, l’équation ${\displaystyle 7x=-7}$ est équivalente à l’équation ${\displaystyle x=-1}$, comme on le voit en divisant chaque membre par 7.

Plus généralement, on dit que des systèmes de plusieurs équations à plusieurs variables sont équivalents lorsque ces systèmes ont le même ensemble de solutions. Par exemple^[2], les systèmes de deux équations à deux inconnues, ${\displaystyle x+4y=-10,\quad 3x-y=9}$ et ${\displaystyle 4x+3y=-1,\quad -2x+5y=-19}$ sont équivalents car ils ont chacun la solution ${\displaystyle x=2,\quad y=-3}$.

Notes

• Portail de l’algèbre