Distribución gamma

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Gamma
Parámetros	${\displaystyle \mathrm {A} >0}$ forma (real) ${\displaystyle \lambda >0}$ escala (real)
Dominio	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\;\gamma (\alpha ,\lambda x)}$
Media	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda }}}$
Moda	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\lambda }}{\text{ por }}\alpha \geq 1}$, ${\displaystyle 0{\text{ por }}\alpha <1}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$
Entropía	${\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha )}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }\quad t<\lambda }$
Función característica	${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{\alpha }}$
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En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse

1. Con parámetro de forma ${\displaystyle k}$ y parámetro de escala ${\displaystyle \theta }$.
2. Con parámetro de forma ${\displaystyle \alpha =k}$ y parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda =1/\theta }$.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$ tiene distribución gamma con parámetros ${\displaystyle \alpha >0}$ y ${\displaystyle \lambda >0}$ entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$.

Función de Densidad

Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ entonces su función de densidad es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}$

para ${\displaystyle x>0}$ donde

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}$

es la función gamma y satisface

1. ${\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1)=1}$
2. Para cualquier ${\displaystyle \alpha >0}$ se cumple que ${\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}$
3. Si ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ entonces ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$
4. ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$
5. Si ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ entonces ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}(n-1)!}{2^{n-1}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}$

Función de Densidad Acumulada

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}$

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \Gamma (n,\lambda )}$ donde ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ (es decir, ${\displaystyle X}$ tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\\&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\end{aligned}}}$

Propiedades

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ entonces ${\displaystyle X}$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es:

${\displaystyle {\text{E}}[X]=\alpha /\lambda }$

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$

Momentos

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}$

para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}$

para ${\displaystyle \lambda >t}$.

Suma de Gammas

Si ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (\alpha _{i},\lambda )}$ para ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ son variables aleatorias independientes entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\lambda \right)}$

Escalar

Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ entonces para cualquier ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle cX\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda /c\right)}$

Media Logarítmica

Puede demostrarse que

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}$

donde ${\displaystyle \psi }$ es la función digamma.

Cálculo de Probabilidades en R

Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad ${\displaystyle f(x)}$ y la función de distribución ${\displaystyle F(x)}$ de una variable aleatoria continua ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$.

Función de densidad

Para ${\displaystyle x>0}$, la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}$

entonces para evaluar la función de densidad ${\displaystyle f_{X}(x)}$ utilizamos el siguiente código

# d=density function
dgamma(x,α,λ)

Función de Distribución

La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}$

para ${\displaystyle x>0}$, se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada ${\displaystyle F_{X}(x)}$

# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)

Distribuciones Relacionadas

• Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que ${\displaystyle X_{i}\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ entonces ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(n,\lambda \right)}$, a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro ${\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {N} }$.

• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma \left(1,\lambda \right)}$ entonces ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ entonces ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$.

Véase también

• Distribución Exponencial
• Distribución Beta
• Distribución de Erlang
• Distribución χ²

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «GammaDistribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• [1] Archivado el 13 de abril de 2020 en Wayback Machine. Calcular la probabilidad de una distribución Gamma con R (lenguaje de programación)