Plemelj-Smithies-Formeln

Die Plemelj-Smithies-Formeln (nach Josip Plemelj und Frank Smithies) sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm-Determinante ${\displaystyle \det(I+\lambda A)}$ für Spurklasse-Operatoren ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}_{1}}$ und für den Spezialfall beschränkter linearer Operatoren mit endlichem Rang ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {B}})}$ auf einem Banachraum ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von ${\displaystyle \det(I+\lambda A)}$ an.

Sei ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}_{1}}$ ein Operator der Spurklasse und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$, dann ist die Determinante ${\displaystyle \det(I+\lambda A)}$ eine ganze Funktion und es gilt

${\displaystyle \det(I+\lambda A)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)\lambda ^{k}}$

wobei sich die Koeffizienten ${\displaystyle C_{k}(A)}$ der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten

${\displaystyle C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&\cdots &\operatorname {tr} A&1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&\cdots &\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$

ausdrücken lassen.

Außerdem gilt für ${\displaystyle |\lambda |<R}$ und ${\displaystyle R>0}$ hinreichend klein die folgende Formel:

${\displaystyle \det(I+\lambda A)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\operatorname {tr} (A^{k})\lambda ^{k}\right)}$

Die Idee besteht darin, den Beweis zunächst für den oben erwähnten Spezialfall von beschränkten Operatoren mit endlichem Rang durchzuführen und dann den Gültigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzübergang auf ${\displaystyle {\mathcal {S_{1}}}}$ fortzusetzen.

Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al.^[1] und Reed / Simon^[2]):

Seien ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Funktionen, die in einer Umgebung von ${\displaystyle \lambda =0}$ holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:

${\displaystyle f(\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}\lambda ^{n},\qquad g(\lambda )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}b_{n}\lambda ^{n}}$

Sei weiterhin ${\displaystyle f(\lambda )=\operatorname {exp} (g(\lambda ))}$. Dann ist ${\displaystyle a_{0}=1}$ und für ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt folgende Darstellung:

${\displaystyle a_{n}=\operatorname {det} {\begin{pmatrix}b_{1}&n-1&0&\cdots &\cdots &0\\b_{2}&b_{1}&n-2&\ddots &&\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\b_{n-2}&\cdot &\cdots &b_{1}&2&0\\b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}&1\\b_{n}&b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}\end{pmatrix}}}$

Begründung:

Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung ${\displaystyle f'(\lambda )=g'(\lambda )f(\lambda )}$ gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von ${\displaystyle g'}$ und ${\displaystyle f}$ anwenden:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{(n-1)!}}\lambda ^{n-1}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}{\frac {a_{n-k}}{(n-k)!}}\right)}$

Also

${\displaystyle a_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}a_{n-k}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!}}\;\;\;\;n=1,2,\ldots }$

Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über ${\displaystyle n}$. Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für ${\displaystyle a_{j},1\leq j\leq n}$ richtig ist, folgt die Gültigkeit für ${\displaystyle a_{n+1}}$ durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für ${\displaystyle a_{n+1}}$ gerade der Entwicklung der Determinante für ${\displaystyle a_{n+1}}$ nach der ersten Spalte entspricht.

Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al.^[3] und Reed / Simon^[4]):

Sei ${\displaystyle A}$ ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {B}})}$ auf einem Banachraum ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Wenn wir die komplexen Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \mu _{i}\;(i=1,\ldots ,n)}$ bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für ${\displaystyle \lambda <1/{\bigl |}{\underset {i=1,\ldots ,n}{\operatorname {max} }}\mu _{i}{\bigr |}}$ folgendermaßen darstellen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(I+\lambda A)=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda \mu _{i})=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {log} (1+\lambda \mu _{i})\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\mu _{i}^{k}\lambda ^{k}\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}^{k}\right)\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\operatorname {tr} (A^{k})\right)\end{aligned}}}$

Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von ${\displaystyle \det(I+\lambda A)}$ folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlichem Rang.

Wir bezeichnen mit

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$ die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {B}})}$ die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang

auf einem komplexen Banachraum ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Eine Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$ heißt stetig eingebettet in ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$, falls es eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {D}}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ gibt, so dass

${\displaystyle 1.\;\|A\|_{{\mathcal {L}}(B)}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}}$

Zusätzlich fordern wir

${\displaystyle 2.\;\|AB\|_{\mathcal {D}}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}\|B\|_{\mathcal {D}}}$

• Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
• Falls zusätzlich ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {D}}={\mathcal {F}}\cap {\mathcal {D}}}$ dicht in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bezüglich der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {D}}}$ liegt, so sagen wir, dass ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Approximationseigenschaft hat.

Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion ${\displaystyle \operatorname {det} (I+\lambda A)}$ für eingebettete Unteralgebren ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ mit Approximationseigenschaft setig von ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {D}}}$ nach ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.^[5]).

Speziell lässt sich nun zeigen, dass

• die Menge ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$ mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.^[6])
• sich ${\displaystyle \operatorname {det} (I+\lambda A)}$ von ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {S}}_{1}}$ stetig nach ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.^[7]

Ein Spezialfall der Formel von Faà di Bruno besagt, dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollständigen Bell-Polynomen ausdrücken lässt:

${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}{n!}}x^{n}}$

Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von ${\displaystyle \operatorname {det} (I-\lambda A)}$ anwendet, so erhält man folgende alternative Darstellung für die Taylorkoeffizienten ${\displaystyle C_{k}(A)}$:

${\displaystyle C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\mathcal {B}}_{k}{\Bigl (}0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}.}$

Ein besonders einfaches Anwendungsbeispiel sind endlich-dimensionale Matrizen ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, da man für diese mit Hilfe der Plemlj-Smithies-Formeln unmittelbar explizite Formeln für die Koeffienten ${\displaystyle c_{k}}$ des durch

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det \left(\lambda I-A\right)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$

definierten charakteristischen Polynoms der Matrix ableiten kann:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{n}}}\det \left(\lambda I-A\right)=\det \left(I+\left(-\;{\frac {1}{\lambda }}\right)A\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)(-1)^{k}{\frac {1}{\lambda ^{k}}}}$.

Da das charakteristische Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$ ist, muss ${\displaystyle C_{k}(A)=0}$ sein für ${\displaystyle k>n}$, d. h. die Laurententwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe von Termen, die Potenzen von ${\displaystyle \lambda }$ mit nicht-negativen Exponenten haben:

${\displaystyle \det \left(\lambda I-A\right)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{k}(A)\lambda ^{n-k}}$.

Durch Koeffizientenvergleich erkennt man:

${\displaystyle c_{n-k}=(-1)^{k}C_{k}(A)}$.

• Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Springer Basel AG, ISBN 978-3-0348-9551-4, doi:10.1007/978-3-0348-8401-3
• Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., ISBN 0-12-585004-2
• J. Plemelj : Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung, Monat. für Math. und Phys 15, 1904, 93–128 doi:10.1007/BF01692293
• F. Smithies : Integral Equations, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1965, ISBN 978-0-521-10003-8

1. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Lemma 7.1
2. ↑ Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 7
3. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Theorem 3.3
4. ↑ Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 6
5. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter II, Theorem 2.1
6. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.1
7. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.2 und Vorbemerkungen auf p. 61

siehe auch: Fredholm-Determinante, Approximationseigenschaft, Banachalgebra, Spurklasse