Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen ${\displaystyle f_{i}}$) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition

Gegeben seien Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon \Omega \to \Omega _{i}}$ und eine Familie von Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ für eine nichtleere Indexmenge ${\displaystyle I}$. Dann heißt die σ-Algebra

${\displaystyle {\mathcal {I}}(f_{i},\,i\in I):=\sigma \left(\bigcup _{i\in I}f_{i}^{-1}({\mathcal {A}}_{i})\right)}$

auf ${\displaystyle \Omega }$ die Initial-σ-Algebra der Abbildungen ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ oder die von den Abbildungen ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ erzeugte σ-Algebra, wobei ${\displaystyle \sigma (\cdot )}$ den σ-Operator darstellt.

Eigenschaften

• Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega }$, bezüglich derer alle Funktionen ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ messbar sind.
• Sind ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ Erzeuger von ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$, so ist ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}f_{i}^{-1}({\mathcal {E}}_{i})}$ ein Erzeuger von ${\displaystyle {\mathcal {I}}(f_{i},\,i\in I)}$.

Beispiele

• Für eine einzelne Abbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to \Omega '}$ in einen Messraum ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ ist bereits ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {A}}')}$ eine σ-Algebra, es gilt also ${\displaystyle {\mathcal {I}}(f)=f^{-1}({\mathcal {A}}')}$. Ist beispielsweise ${\displaystyle f}$ eine konstante Funktion, so ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}(f)}$ die triviale σ-Algebra ${\displaystyle \{\emptyset ,\Omega \}}$. Für die Indikatorfunktion ${\displaystyle \chi _{A}}$ einer Teilmenge ${\displaystyle A\subset \Omega }$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\chi _{A})=\{\emptyset ,A,A^{\mathsf {c}},\Omega \}}$.
• Ist ${\displaystyle X\subset Y}$ und ${\displaystyle (Y,{\mathcal {A}})}$ ein Messraum sowie ${\displaystyle i\colon X\to Y,\,i(x)=x}$ die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: ${\displaystyle {\mathcal {I}}(i)={\mathcal {A}}|_{X}}$.
• Sei ${\displaystyle \textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}}$ das kartesische Produkt von Mengen ${\displaystyle \Omega _{i}}$ für eine nichtleere Indexmenge ${\displaystyle I}$ und seien ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ Messräume. Wählt man als Abbildungen ${\displaystyle \pi _{i}\colon \Omega \to \Omega _{i},\,\pi _{i}(\omega )=\omega _{i}}$ die Projektionen auf die ${\displaystyle i}$-te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$:

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}}$.

Verwendung

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.