Glaubwürdigkeitsintervall

In der Statistik ist ein Glaubwürdigkeitsintervall, auch Kredibilitätsintervall genannt, das bayessche Pendant zum Konfidenzintervall in der frequentistischen Statistik. Bayessche Intervallschätzer werden von der A-Posteriori-Verteilung abgeleitet. Um sie von den Konfidenzintervallen zu unterscheiden, die eine andere Interpretation haben, werden sie Glaubwürdigkeitsintervalle genannt. Das Glaubwürdigkeitsintervall besagt, dass der unbekannte Parameter ${\displaystyle \vartheta }$ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \gamma }$ in diesem Intervall liegt.

Definition

Für ein fest vorgegebenes ${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$ ist ein ${\displaystyle \gamma \cdot 100\,\%}$-Glaubwürdigkeitsintervall für ${\displaystyle \vartheta }$ zum Glaubwürdigkeitsniveau ${\displaystyle \gamma }$ (auch: ein ${\displaystyle \gamma }$-Glaubwürdigkeitsintervall) durch zwei reelle Zahlen ${\displaystyle t_{l}}$ und ${\displaystyle t_{u}}$ definiert, welche^[1]

${\displaystyle \int _{t_{l}}^{t_{u}}f(\vartheta \mid x)\,\mathrm {d} \vartheta =\gamma }$

erfüllen. Hierbei stellt ${\displaystyle f(\vartheta \mid x)}$ die A-Posteriori-Verteilung dar. Der einfachste Weg um ein Glaubwürdigkeitsintervall zu konstruieren, ist ${\displaystyle t_{l}}$ als das ${\displaystyle (1-\gamma )/2}$-Quantil und ${\displaystyle t_{u}}$ als das ${\displaystyle (1+\gamma )/2}$-Quantil der A-Posteriori-Verteilung zu wählen. Um solche Glaubwürdigkeitsintervalle zu berechnen, muss man die Quantile der A-Posteriori-Verteilung berechnen.

Interpretation

Da der unbekannte Parameter ${\displaystyle \vartheta \mid x}$ eine Zufallsvariable ist, kann man sagen, dass ${\displaystyle \vartheta \mid x}$ in einem ${\displaystyle \gamma \cdot 100\,\%}$-Glaubwürdigkeitsintervall mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \gamma }$ liegt.^[1] Im Gegensatz zu dieser Interpretation besagt ein Konfidenzintervall, dass wenn man das Zufallsexperiment auf identische Art und Weise wiederholt, dann wird ein ${\displaystyle \gamma \cdot 100\,\%}$-Konfidenzintervall den unbekannten Parameter ${\displaystyle \vartheta }$ in ${\displaystyle \gamma \cdot 100\,\%}$ aller Fälle überdecken.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Leonhard Held, Daniel Sabanés Bové: Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes. Springer, Heidelberg/ New York/ Dordrecht/ London 2014, ISBN 978-3-642-37886-7, S. 172.