Dvojčlen

Dvojčlen nebo binom (lat.) je v algebře součet nebo rozdíl dvou jednoduchých členů (monomů), který se nejčastěji zapisuje v závorkách jako (a + 7), (ax + b), (ax – b) a podobně. Dvojčlen je zvláštní případ mnohočlenu (polynomu) se dvěma členy.

Aritmetické operace s dvojčleny

Pro dva (lineární) dvojčleny (a₁x + b₁) a (a₂x + b₂) platí, že:

• (a₁x + b₁) + (a₂x + b₂) = ((a₁ + a₂)x + (b₁ + b₂))
• (a₁x + b₁) – (a₂x + b₂) = ((a₁ – a₂)x + (b₁ – b₂))

• Součin dvojčlenů ${\displaystyle (ax+b)}$ a ${\displaystyle (cx+d)}$ je:

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+adx+bcx+bd.}$

• Dvojčlen ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ lze rozložit na součin dvou dvojčlenů

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).}$

• Povýšení dvojčlenu na n-tou mocninu, jež se zapíše jako

${\displaystyle (a+b)^{n}}$,

lze rozvinout pomocí binomické věty, anebo pomocí Pascalova trojúhelníku. V jednoduchém případě dvojčlenu ${\displaystyle (p+q)^{2}}$ se mocnina vypočte jako součet čtverce prvního členu, dvojnásobného součinu obou členů a čtverce druhého členu: ${\displaystyle p^{2}+2pq+q^{2}}$. Geometrické znázornění je na vedlejším obrázku.

Je to zvláštní případ obecnějšího vzorce: ${\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}}$.

• Zajímavý příklad je vzorec pro tzv. Pythagorejské trojice: pro m < n nechť platí ${\displaystyle a=n^{2}-m^{2}}$, ${\displaystyle b=2mn}$ a ${\displaystyle c=n^{2}+m^{2}}$. Potom platí, že ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Odkazy

Literatura

• Ottův slovník naučný, heslo Binom. Sv. 4, str. 76

Související články

• Binomická věta
• Mnohočlen

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu dvojčlen na Wikimedia Commons