Dostředivé zrychlení

Při křivočarém pohybu je výhodné rozložit zrychlení do směru pohybu, tzn. do směru tečny k trajektorii, a do směru kolmého k pohybu, tzn. do směru normály k trajektorii. Hovoříme pak o tečném zrychlení a normálovém (také dostředivém) zrychlení.

Směr kolmý k trajektorii je dán normálou trajektorie a složka zrychlení, která má stejný směr jako tato normála, se označuje jako normálové zrychlení (hovoří se také o normálové složce zrychlení) a n {\displaystyle \mathbf {a} _{n}} . Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti trajektorie, a proto se často nazývá dostředivým zrychlením a značí a d {\displaystyle \mathbf {a} _{d}} .

Vektor a velikost normálového zrychlení

Pro velikost normálového zrychlení platí vztah

a n = d v n d t = v 2 ρ {\displaystyle a_{n}={\frac {\mathrm {d} v_{n}}{\mathrm {d} t}}={\frac {v^{2}}{\rho }}} ,

kde d v n {\displaystyle \mathrm {d} v_{n}} je změna velikosti rychlosti ve směru normály k trajektorii pohybu, v {\displaystyle \mathbf {v} } je okamžitá rychlost a ρ {\displaystyle \rho } je poloměr křivosti v daném bodě trajektorie.

Velikost dostředivého zrychlení závisí na rychlosti (obvodové nebo úhlové) a na poloměru zakřivení trajektorie (u pohybu po kružnici na poloměru kružnice). Směr dostředivého zrychlení je do středu zakřivení (do středu kružnice) a je kolmý k vektoru rychlosti.

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Související informace naleznete také v článku Rovnoměrný pohyb po kružnici.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici je poloměr křivosti ρ {\displaystyle \rho } roven poloměru kružnice r {\displaystyle r} . Použijeme-li navíc vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí, pak pro velikost dostředivého zrychlení získáme vztah

a d = v 2 r = ω 2 ⋅ r {\displaystyle a_{d}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}\cdot r\,} ,

kde v je velikost obvodové rychlosti, ω úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Odvození

K odvození velikosti dostředivého zrychlení
a → = Δ v → Δ t {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}}
v a Δ v = r Δ s {\displaystyle {\frac {v_{a}}{\Delta v}}={\frac {r}{\Delta s}}}

Vzorec vyplývá z podobnosti rovnoramenných trojúhelníků se stejným vrcholovým úhlem, přičemž trajektorii Δ s {\displaystyle {\Delta s}} aproximujeme přeponou AB, neboť ta se k trajektorii limitně blíží.

v a ⋅ Δ s = r ⋅ Δ v {\displaystyle v_{a}\cdot \Delta s=r\cdot \Delta v}
Δ v = v a ⋅ Δ s r {\displaystyle \Delta v={\frac {v_{a}\cdot \Delta s}{r}}}
Δ v Δ t = v a r ⋅ Δ s Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{a}}{r}}\cdot {\frac {\Delta s}{\Delta t}}}

Obě strany rovnice vydělíme Δ t {\displaystyle {\Delta t}} a interpretujeme vzniklé derivace (diferenciály) jako zrychlení a rychlost.

a = v a r ⋅ v a {\displaystyle a={\frac {v_{a}}{r}}\cdot v_{a}}
→ a = v a 2 r ⇔ a = ω 2 ⋅ r {\displaystyle \rightarrow a={\frac {v_{a}^{2}}{r}}\Leftrightarrow a=\omega ^{2}\cdot r}

Související články