Teorema de Clairaut

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwarz o de Young) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

${\displaystyle f\colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert ${\displaystyle \Omega }$, per exemple, prenguem el punt ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in \Omega }$, llavors, segons aquest teorema, per qualssevol ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ tenim que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.

Demostració

Denotarem ${\displaystyle f_{x_{i}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ i ${\displaystyle f_{x_{i}x_{j}}:={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ i demostrarem que si existeixen ${\displaystyle f_{x_{i}},f_{x_{j}}{\text{ i }}f_{x_{i}x_{j}}}$ en tot l'obert ${\displaystyle \Omega }$ i ${\displaystyle f_{x_{i}x_{j}}}$ és contínua en un punt ${\displaystyle a\in \Omega }$, aleshores ${\displaystyle \exists f_{x_{j}x_{i}}(a)=f_{x_{i}x_{j}}(a)}$.

Sigui ${\displaystyle \alpha :=f_{x_{i}x_{j}}(a)}$. Per continuïtat de ${\displaystyle f_{x_{i}x_{j}}}$ en ${\displaystyle a}$ tenim que donat ${\displaystyle \varepsilon >0,\ \ \exists r>0}$ tal que ${\displaystyle B(a,r)\subseteq \Omega }$ (per ser ${\displaystyle \Omega }$ obert) i ${\displaystyle |f_{x_{i}x_{j}}(x)-\alpha |\leq \varepsilon \ \ \ \forall x\in B(a,r)}$. ${\displaystyle (1)}$

Considerem ${\displaystyle \delta :={\frac {r}{\sqrt {2}}}}$. Aleshores, denotant per ${\displaystyle e_{i}}$ l'${\displaystyle i}$-èsim vector de la base canònica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, per a tot ${\displaystyle h,k\in (-\delta ,\delta )}$, tenim que

${\displaystyle ||a+he_{i}+ke_{j}-a||=||he_{i}+ke_{j}||={\sqrt {h^{2}+k^{2}}}<{\sqrt {2\delta ^{2}}}={\sqrt {2{\frac {r^{2}}{2}}}}=|r|=r\Rightarrow a+he_{i}+ke_{j}\in B(a,r)\quad \quad (2)}$

En particular, com que, per ${\displaystyle (1)}$, ${\displaystyle B(a,r)\subseteq \Omega }$, podem definir la següent funció:

${\displaystyle A:(-\delta ,\delta )^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \quad \quad \ \ (h,k)\longmapsto A(h,k)=f(a+he_{i}+ke_{j})-f(a+he_{i})-f(a+ke_{j})+f(a)}$

Ara, donats ${\displaystyle h,k}$ amb ${\displaystyle 0<|h|,|k|<\delta }$, definim la funció

${\displaystyle u:(-\delta ,\delta )\longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \quad \quad \ \ t\longmapsto u(t)=f(a+he_{i}+te_{j})-f(a+te_{j})}$

Per ${\displaystyle (2)}$ i ${\displaystyle (1)}$, tenim que ${\displaystyle a+he_{i}+te_{j},a+te_{j}\in B(a,r)\subseteq \Omega }$, d'on, com que existeix ${\displaystyle f_{x_{j}}}$ per hipòtesi, ${\displaystyle u}$ és derivable i ${\displaystyle u'=f_{x_{j}}(a+he_{i}+te_{j})-f_{x_{j}}(a+te_{j})}$. Com que ${\displaystyle 0,k\in (-\delta ,\delta ),}$ podem aplicar el teorema del valor mitjà de Lagrange d'una variable a ${\displaystyle u}$ a l'interval amb extrems ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle k}$. Així,

${\displaystyle \exists \xi \in \left\langle 0,k\right\rangle {\text{ tal que }}A(h,k)=u(k)-u(0)=u'(\xi )(k-0)=\left[f_{x_{j}}(a+he_{i}+\xi e_{j})-f(a+\xi e_{j})\right]k\quad \quad (*)}$

Considerem ara

${\displaystyle v:(-\delta ,\delta )\longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \quad \quad \ \ t\longmapsto v(t)=f_{x_{j}}(a+te_{i}+\xi e_{j})}$

Com que ${\displaystyle t\in (-\delta ,\delta ){\text{ i }}\xi \in \left\langle 0,k\right\rangle \subseteq (-\delta ,\delta )}$, per ${\displaystyle (2){\text{ i }}(1)}$ tenim que ${\displaystyle a+te_{i}+\xi e_{j}\in B(a,r)\subseteq \Omega }$, d'on, com que existeix ${\displaystyle f_{x_{i}x_{j}}}$ per hipòtesi, ${\displaystyle v}$ és derivable i ${\displaystyle v'(t)=f_{x_{i}x_{j}}(a+te_{i}+\xi e_{j})}$.

Com que ${\displaystyle 0,h\in (-\delta ,\delta ),}$ podem aplicar el teorema del valor mitjà de Lagrange d'una variable a ${\displaystyle v}$ a l'interval amb extrems ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle h}$. Així,

${\displaystyle \exists \eta \in \left\langle 0,h\right\rangle {\text{ tal que }}f_{x_{j}}(a+he_{i}+\xi e_{j})-f_{x_{j}}(a+\xi e_{j})=v(h)-v(0)=v'(\eta )(h-0)=f_{x_{i}x_{j}}(a+\eta e_{i}+\xi e_{j})h\quad {\overset {\cdot k}{\Rightarrow }}}$

${\displaystyle {\overset {\cdot k}{\Rightarrow }}\left[f_{x_{j}}(a+he_{i}+\xi e_{j})-f_{x_{j}}(a+\xi e_{j})\right]k=f_{x_{i}x_{j}}(a+\eta e_{i}+\xi e_{j})hk~~{\overset {(*)}{\Rightarrow }}~~A(h,k)=f_{x_{i}x_{j}}(a+\eta e_{i}+\xi e_{j})hk}$.

Definint ${\displaystyle z:=a+\eta e_{i}+\xi e_{j}}$, com que ${\displaystyle h,k\neq 0\Rightarrow hk\neq 0}$, tenim que ${\displaystyle {\frac {A(h,k)}{hk}}=f_{x_{i}x_{j}}(z)}$. Observem que ${\displaystyle (2)\Rightarrow z\in B(a,r)~{\overset {(1)}{\Rightarrow }}~|f_{x_{i}x_{j}}-\alpha |\leq \varepsilon }$. Així, tenim que ${\displaystyle \left|{\frac {A(h,k)}{hk}}-\alpha \right|=\left|f_{x_{i}x_{j}}(z)-\alpha \right|\leq \varepsilon \quad (**)}$.

Finalment, observem que

${\displaystyle {\frac {A(h,k)}{hk}}={\frac {1}{k}}\left[{\frac {f(a+he_{i}+ke_{j})-f(a+ke_{i})}{h}}-{\frac {f(a+he_{i})-f(a)}{h}}\right]{\overset {h\rightarrow 0}{\longrightarrow }}~~{\frac {1}{k}}\left[f_{x_{i}}(a+ke_{j})-f_{x_{i}}(a)\right]\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow \varepsilon {\overset {(**)}{\geq }}\left|{\frac {A(h,k)}{hk}}-\alpha \right|~~{\overset {h\rightarrow 0}{\longrightarrow }}~~\left|{\frac {f_{x_{i}}(a+ke_{j})-f_{x_{i}}(a)}{k}}-\alpha \right|\leq \varepsilon \Rightarrow {\frac {f_{x_{i}}(a+ke_{j})-f_{x_{i}}(a)}{k}}~~{\overset {k\rightarrow 0}{\longrightarrow }}~~\alpha \Rightarrow f_{x_{j}x_{i}}(a)=\alpha ~{\overset {\text{def}}{=}}~f_{x_{i}x_{j}}(a)\quad \square }$