Espai prehilbertià

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell ${\displaystyle (V,\langle \cdot |\cdot \rangle )}$, on ${\displaystyle V\,}$ és un espai vectorial sobre un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ i ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ és un producte escalar en ${\displaystyle V\,}$.

L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita i definit sobre el cos dels nombres reals, aleshores és un espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base ${\displaystyle \mathbb {K} }$ siguin els nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o els nombres complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Així, cap espai prehilbertià sobre els nombres racionals ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ pot ser un espai de Hilbert.

Definició

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (Pot ser ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$), el qual té una operació definida amb la següent funció:

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbf {K} }$

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

• Hermítica.

${\displaystyle \forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$

Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle .}$

Aquesta condició implica que ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$ per a tot ${\displaystyle x\in V}$, perquè ${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}}$.

• Sesquilineal:

${\displaystyle \forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .}$

${\displaystyle \forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .}$

Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:

${\displaystyle \forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .}$

${\displaystyle \forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}$

En el cas que el cos sigui ${\displaystyle \mathbb {R} }$ aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.

• Definida positiva:

${\displaystyle \forall x\in V,\ \langle x,x\rangle \geq 0.}$ (Té sentit, ja que ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$ per a tot ${\displaystyle x\in V}$.)

A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:

${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\;{\mbox{ si }}x=0.}$

Normes en espais prehilbertians

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

${\displaystyle \|X\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

• ${\displaystyle \|X\|}$ és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.

• Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:

${\displaystyle \|r\cdot x\|=|r|\cdot \|x\|.}$

• Desigualtat triangular: per a tot vector x i y

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:

• Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per x i y elements de V

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|}$

La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents

Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz

• Llei del paral·lelogram:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$

• Teorema de Pitàgores: siguin x i y vectors ortogonals, aleshores

${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$

Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.

Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:

• Si x ₁ , ..., x _n són vectors ortogonals, o sigui, < x _j , x _k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$

Exemples

• Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.

${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy}$

• Més generalment, qualsevol espai euclidià Rⁿ amb el producte escalar és un espai amb producte intern.

${\displaystyle \langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}}$

Es té la norma:

${\displaystyle \|X\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Bibliografia

Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets.

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 2nd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-98258-8. 
• Emch, Gerard G.. Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. Wiley-Interscience, 1972. ISBN 978-0-471-23900-0. 
• Young, Nicholas. An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press, 1988. ISBN 978-0-521-33717-5. 

Vegeu també

• Espai
• Espai de Hilbert
• Estructura lineal dual
• Producte vectorial

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Pre-Hilbert_space&oldid=15523. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.