Concoide de De Sluze

Les Concoide(s) de de Sluze són una família de corbes planes estudiades el 1662 per René François Walter,^[1] baró de Sluze.

Les corbes estan definides per l'equació polar

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta \,}$.

En coordenades cartesianes, les corbes satisfan l'equació implícita

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,}$

excepte per a =0 la forma implícita té un acnode (0,0) no present en la forma polar.

Són corbes planes racionals, circulars, cúbiques.

Aquestes expressions tenen una asímptota x =1 (per a ≠0). El punt més distant de l'asímptota és (1+a,0). (0,0) és un crunode per a <−1.

L'àrea entre la corba i l'asímptota és, per a ${\displaystyle a\geq -1}$,

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi \,}$

mentre que per a ${\displaystyle a<-1}$, l'àrea és

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.}$

Si ${\displaystyle a<-1}$, la corba tindrà un bucle. L'àrea del bucle és

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.}$

Quatre dels membres de la família tenen noms particulars:

a =0, recta (asímptota a la resta de la família)

a =−1, cissoide de Diocles

a =−2, estrofoide dreta.

a =−4, Trisectriu de Maclaurin

Referències